Question

如圖所示，一個(gè)質(zhì)量為2kg 的“”形導(dǎo)軌ABCD，放在光滑絕緣的水平桌面上，處于如圖所示勻強(qiáng)磁場(chǎng)中，另有一根與AD等長(zhǎng)的質(zhì)量為m=0.60kg的金屬棒MN垂直跨放在導(dǎo)軌上，MN與導(dǎo)軌的動(dòng)摩擦因數(shù)為0.20，左邊靠著光滑的固定在桌面的立柱a、b，勻強(qiáng)磁場(chǎng)以ab連線為界，左側(cè)的磁場(chǎng)方向豎直向上，右側(cè)磁場(chǎng)方向水平向右，磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小都是0.80T．已知導(dǎo)軌AD段長(zhǎng)為0.50m，電阻是0.40Ω，金屬棒MN的電阻是0.20Ω，其余電阻不計(jì)．導(dǎo)軌在水平拉力F作用下由靜止開始以0.20m/s²的加速度做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，一直到MN中的電流達(dá)到4.0A時(shí)，導(dǎo)軌改做勻速直線運(yùn)動(dòng)．設(shè)導(dǎo)軌足夠長(zhǎng)，取g=10m/s²．求：
（1）導(dǎo)軌做勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)，水平拉力F的大小
（2）在導(dǎo)軌ABCD做勻加速運(yùn)動(dòng)的過程中，水平拉力F 的最小值
（3）MN上消耗的電功率為P=0.80W時(shí)，水平拉力F的功率．

Answer 1

分析：（1）導(dǎo)軌做勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)，MN保持靜止?fàn)顟B(tài)，受力都平衡．分別分析兩物體的受力情況，根據(jù)平衡條件列式求解水平拉力F的大小，其中MN與導(dǎo)軌所受的安培力大小相等，均為F_安=BIL．
（2）根據(jù)法拉第電磁感應(yīng)定律、歐姆定律和安培力公式推導(dǎo)出導(dǎo)軌所受的安培力與速度的表達(dá)式，由f=μN(yùn)得到摩擦力的表達(dá)式，根據(jù)牛頓第二定律得到水平拉力F與速度的關(guān)系式，再分析并求解最小的拉力．
（3）由P=I²R求出此時(shí)電路中的電流，由歐姆定律和E=BLv求出導(dǎo)軌的速度，由P=Fv求解水平拉力的功率．

解答：解：（1）導(dǎo)軌勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)，設(shè)電流為I，MN及AD的長(zhǎng)度均為L(zhǎng)=0.5m，此時(shí)MN棒受力如左圖
有：F_N+F_安1=mg
   F_f=μF_N
  F_安1=BIL
解得：F_f=0.88N
對(duì)導(dǎo)軌受力分析如右圖
有：F=F_安2+F′_f
又：F_f=F′_f
F_安2=BIL=1.6N
解得：F=2.48N
（2）當(dāng)導(dǎo)軌以加速度a做勻加速運(yùn)動(dòng)時(shí)，速度為，對(duì)應(yīng)的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)為E，感應(yīng)電流為，設(shè)MN的電阻為，AD的電阻為，質(zhì)量為，有：
E=BLv
I′=

E

R+r

F′_安1=BI′L
F′_安2=BI′L（2分）
而摩擦力也變?yōu)椋篎″_f=μF″_N，
又：F″_N+F′_安1=mg（1分）
由牛頓第二定律：F-F″_f-F′_安2=Ma
聯(lián)立上面各式得：F-

B2L2v

R+r

-μ(mg-

B2L2v

R+r

)=Ma①
解得：F=Ma+μmg+(1-μ)

B2L2v

R+r

當(dāng)速度v=0時(shí)，水平力F有最小值F_min=1.6N．
（3）MN上消耗電功率P=0.8W時(shí)，設(shè)電路中的電流為I″，導(dǎo)軌的速度為v′，拉力為F′，拉力的功率為P′
由：P=I″²R
及：I″=

BLv′

R+r

解得導(dǎo)軌的運(yùn)動(dòng)速度 v′=3m/s．      
結(jié)合①式可得：F′=2.24N．        
力F'做功的功率：P′=F′v′=6.72W
答：
（1）導(dǎo)軌做勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)水平拉力F的大小為2.48N．
（2）在導(dǎo)軌ABCD做勻加速運(yùn)動(dòng)的過程中，水平拉力F的最小值為1.6N．
（3）MN上消耗的電功率為P=0.80W時(shí)，水平拉力F的功率是6.72N．

點(diǎn)評(píng)：本題涉及導(dǎo)體MN和導(dǎo)軌兩個(gè)物體，分析受力情況是關(guān)鍵，其中最關(guān)鍵的是推導(dǎo)安培力的表達(dá)式，同時(shí)要抓住兩個(gè)物體之間的相關(guān)條件：安培力和摩擦力大小相等．