Question

如圖，阻值不計(jì)的光滑金屬導(dǎo)軌MN和PQ水平放置，其最右端NQ間距 d 為 l m，左端MP間接有阻值 r 為 4Ω 的電阻，右端NQ與半徑 R 為 2m 的光滑豎直半圓形絕緣導(dǎo)軌平滑連接．在平面NQDC的左側(cè)空間中存在豎直向下的勻強(qiáng)磁場 B，平面NQDC的右側(cè)空間中無磁場．一根阻值不計(jì)的長為 L=l.2m，質(zhì)量 m=0.5kg 的金屬桿 ab 放在導(dǎo)軌的 EF 處，EF 與MP平行．現(xiàn)桿 ab 以初速度v₀=12m/s 向右在水平軌道上做勻減速運(yùn)動(dòng)，進(jìn)入半圓形導(dǎo)軌后恰能通過最高位置 CD，并恰又落到 EF 位置．求：
（l）桿ab 剛進(jìn)入半圓形導(dǎo)軌時(shí)，對導(dǎo)軌的壓力；
（2）EF 到NQ的距離；
（3）磁感應(yīng)強(qiáng)度 B 的大�。�
（4）試簡要說明桿 ab 以初速度v₀ 向右在水平軌道上做勻減速運(yùn)動(dòng)的合理性．

Answer 1

分析：（1）金屬桿ab恰能通過最高位置 CD時(shí)，由重力提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律可求出經(jīng)過最高點(diǎn)的速度．棒從NQ到最高點(diǎn)的過程機(jī)械能守恒，則可求出棒通過NQ時(shí)的速度．棒經(jīng)NQ時(shí)，由重力和軌道的支持力提供其向心力，由牛頓運(yùn)動(dòng)定律求出桿ab剛進(jìn)入半圓形導(dǎo)軌時(shí)對導(dǎo)軌的壓力．
（2）ab 離開半圓形導(dǎo)軌后做平拋運(yùn)動(dòng)，水平方向做勻速直線運(yùn)動(dòng)，豎直方向做自由落體運(yùn)動(dòng)，由下落的高度為2R和最高點(diǎn)的速度結(jié)合可求出EF到NQ的距離；
（3）桿 ab 做勻減速運(yùn)動(dòng)，由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式、牛頓第二定律和安培力結(jié)合可求得B．
（4）桿向右運(yùn)動(dòng)時(shí)，受到向左的安培力作用，使桿的運(yùn)動(dòng)速度v減小，而隨著軌道寬度變大，L變大，由F_A=

B2L2v

R

可知，桿所受的安培力有可能不變，則棒可以做勻減速運(yùn)動(dòng)．

解答：解：（ 1 ）設(shè)桿ab剛進(jìn)入半圓形導(dǎo)軌時(shí)速度為v₁，到達(dá)最高位置時(shí)速度為v₂，由于恰能通過最高點(diǎn)，則：
   mg=

mv22

R

得：v2=2

5

m/s
桿ab進(jìn)入半圓形導(dǎo)軌后，由于軌道絕緣，無感應(yīng)電流，則根據(jù)機(jī)械能守恒定律：
  

1

2

m

v

2 1

=mg?2R+

1

2

m

v

2 2

解得：v₁=10m/s
設(shè)在最低點(diǎn)時(shí)半圓形軌道對桿ab的支持力為 N
   N-mg=

m v 2 1

R

得：N=30N 
（ 2 ）ab離開半圓形導(dǎo)軌后做平拋運(yùn)動(dòng)，設(shè)經(jīng)時(shí)間t落到水平導(dǎo)軌上
由

1

2

gt2=2R得，t=

2 5

5

S
則EF與NQ的水平距離 S=v₂t=4 m   
（3）設(shè)桿ab做勻減速運(yùn)動(dòng)的加速度為a
 

v

2 1

-

v

2 0

=2as得：a=-5.5m/s²    
對桿剛要到達(dá)NQ位置處進(jìn)行分析：
  由F_A=BId、I=

Bdv1

r

得
 B=

mar d2v1

=

1.1

T≈1.05T
（4）桿向右運(yùn)動(dòng)時(shí)，受到向左的安培力作用，使桿的運(yùn)動(dòng)速度v減小，而隨著軌道寬度變大，L變大，由F_A=

B2L2v

R

可知，桿所受的安培力有可以不變，故桿作勻減速運(yùn)動(dòng)是合理的．
答：
（l）桿ab剛進(jìn)入半圓形導(dǎo)軌時(shí)，對導(dǎo)軌的壓力為30N；
（2）EF 到NQ的距離為4m；
（3）磁感應(yīng)強(qiáng)度B的大小為1.05T；
（4）桿向右運(yùn)動(dòng)時(shí)，受到向左的安培力作用，使桿的運(yùn)動(dòng)速度v減小，而隨著軌道寬度變大，L變大，由F_A=

B2L2v

R

可知，桿所受的安培力有可以不變，故桿作勻減速運(yùn)動(dòng)是合理的．

點(diǎn)評：本題的突破口是棒恰能通過最高位置CD，達(dá)到臨界狀態(tài)，由牛頓第二定律可求得臨界速度．本題是電磁感應(yīng)中的力學(xué)問題，安培力的分析和計(jì)算是關(guān)鍵