Question

如圖所示，質(zhì)量為m可看作質(zhì)點的小球從靜止開始沿斜面由A點滑到B點后，進入與斜面圓滑連接的

1

4

豎直圓弧管道BC，管道出口為C．圓弧半徑R=15cm，AB的豎直高度差h=35cm．在緊靠出口C處，有一水平放置且繞其水平軸線勻速旋轉(zhuǎn)的圓筒（不計筒皮厚度），筒上開有小孔D，筒旋轉(zhuǎn)時，小孔D恰好能經(jīng)過出口C處．若小球射出C口時，恰好能接著穿過D孔，并且還能再從D孔向上穿出圓筒，小球返回后又先后兩次向下穿過D孔而未發(fā)生碰撞．不計摩擦和空氣阻力，取g=10m/s²，問：
（1）小球到達C點的速度v_c為多少？
（2）圓筒轉(zhuǎn)動的周期T為多少？
（3）在圓筒以最大周期T轉(zhuǎn)動的情況下，要完成上述運動圓筒的半徑R’必須為多少？

Answer 1

分析：（1）根據(jù)動能定理求出小球到達C點的速度．
（2）小球向上穿出圓筒所用時間是轉(zhuǎn)動周期的奇數(shù)倍，小球從離開圓筒到第二次進入圓筒所用時間是圓筒周期的整數(shù)倍，根據(jù)豎直上拋運動的時間求出周期．
（3）根據(jù)周期的表達式求出最大周期，從而求出在圓筒內(nèi)豎直上升的位移，即半徑的2倍，根據(jù)該關系求出圓筒的半徑．

解答：解：（1）對小球從A→C由動能定理得：
mgh-mgR=

1

2

mv02…①
代入數(shù)值解出 v₀=2m/s
（2）小球向上穿出圓筒所用時間為t₁
t₁=

2k-1

2

T （k=1，2，3…）…②
小球從離開圓筒到第二次進入圓筒所用時間為2t₂．
2t₂=nT  （n=1，2，3…）…③
對小球由C豎直上拋的上升階段，由速度公式得：
0=v₀-g（t₁+t₂）…④
聯(lián)立解得 T=

0.4

2k+n-1

   （k=1，2，3…，n=1，2，3…）…⑤
（3）當n=k=1時，T_大=0.2  s
對小球在圓筒內(nèi)上升的階段，由位移公式得：
2R′=v₀t₁-

1

2

gt12…⑥
代入數(shù)值解得：R′=0.075 m．
答：（1）小球到達C點的速度v_c為2m/s．
（2）圓筒轉(zhuǎn)動的周期T為T=

0.4

2k+n-1

   （k=1，2，3…，n=1，2，3…） 
（3）運動圓筒的半徑R’必須為0.075m．

點評：解決本題的關鍵注意圓筒轉(zhuǎn)動的周期性，抓住豎直上拋過程中的時間與圓筒的轉(zhuǎn)動時間關系，運用運動學公式進行求解．