Question

如圖所示，質(zhì)量為m可看作質(zhì)點(diǎn)的小球從靜止開(kāi)始沿斜面由A點(diǎn)滑到B點(diǎn)后，進(jìn)入與斜面圓滑連接的

1

4

豎直圓弧管道BC，管道出口為C．圓弧半徑R=15cm，AB的豎直高度差h=35cm．在緊靠出口C處，有一水平放置且繞其水平軸線(xiàn)勻速旋轉(zhuǎn)的圓筒（不計(jì)筒皮厚度），筒上開(kāi)有小孔D，筒旋轉(zhuǎn)時(shí)，小孔D恰好能經(jīng)過(guò)出口C處．若小球射出C口時(shí)，恰好能接著穿過(guò)D孔，并且還能再?gòu)腄孔向上穿出圓筒，小球返回后又先后兩次向下穿過(guò)D孔而未發(fā)生碰撞．不計(jì)摩擦和空氣阻力，取g=10m/s²，問(wèn)：
（1）小球到達(dá)C點(diǎn)的速度v_c為多少？
（2）圓筒轉(zhuǎn)動(dòng)的周期T為多少？
（3）在圓筒以最大周期T轉(zhuǎn)動(dòng)的情況下，要完成上述運(yùn)動(dòng)圓筒的半徑R’必須為多少？

Answer 1

分析：（1）根據(jù)動(dòng)能定理求出小球到達(dá)C點(diǎn)的速度．
（2）小球向上穿出圓筒所用時(shí)間是轉(zhuǎn)動(dòng)周期的奇數(shù)倍，小球從離開(kāi)圓筒到第二次進(jìn)入圓筒所用時(shí)間是圓筒周期的整數(shù)倍，根據(jù)豎直上拋運(yùn)動(dòng)的時(shí)間求出周期．
（3）根據(jù)周期的表達(dá)式求出最大周期，從而求出在圓筒內(nèi)豎直上升的位移，即半徑的2倍，根據(jù)該關(guān)系求出圓筒的半徑．

解答：解：（1）對(duì)小球從A→C由動(dòng)能定理得：
mgh-mgR=

1

2

mv02…①
代入數(shù)值解出 v₀=2m/s
（2）小球向上穿出圓筒所用時(shí)間為t₁
t₁=

2k-1

2

T （k=1，2，3…）…②
小球從離開(kāi)圓筒到第二次進(jìn)入圓筒所用時(shí)間為2t₂．
2t₂=nT  （n=1，2，3…）…③
對(duì)小球由C豎直上拋的上升階段，由速度公式得：
0=v₀-g（t₁+t₂）…④
聯(lián)立解得 T=

0.4

2k+n-1

   （k=1，2，3…，n=1，2，3…）…⑤
（3）當(dāng)n=k=1時(shí)，T_大=0.2  s
對(duì)小球在圓筒內(nèi)上升的階段，由位移公式得：
2R′=v₀t₁-

1

2

gt12…⑥
代入數(shù)值解得：R′=0.075 m．
答：（1）小球到達(dá)C點(diǎn)的速度v_c為2m/s．
（2）圓筒轉(zhuǎn)動(dòng)的周期T為T(mén)=

0.4

2k+n-1

   （k=1，2，3…，n=1，2，3…） 
（3）運(yùn)動(dòng)圓筒的半徑R’必須為0.075m．

點(diǎn)評(píng)：解決本題的關(guān)鍵注意圓筒轉(zhuǎn)動(dòng)的周期性，抓住豎直上拋過(guò)程中的時(shí)間與圓筒的轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)間關(guān)系，運(yùn)用運(yùn)動(dòng)學(xué)公式進(jìn)行求解．