Question

如圖（a）所示，有兩級(jí)光滑的絕緣平臺(tái)，高一級(jí)平臺(tái)距離絕緣物塊的中心O的高度為h，低一級(jí)平臺(tái)高度是高一級(jí)平臺(tái)高度的一半．絕緣物塊放在水平地面上，物塊與地面間的動(dòng)摩擦力為f，一輕質(zhì)彈簧一端連接在絕緣物塊的中心，另一端固定在墻面上．邊界GH左邊存在著正交的勻強(qiáng)電場(chǎng)和交變磁場(chǎng)，電場(chǎng)強(qiáng)度為E，磁感應(yīng)強(qiáng)度變化情況如圖（b）所示，磁感強(qiáng)度大小均為B₀．有一質(zhì)量為m、帶負(fù)電的小球從高一級(jí)平臺(tái)左邊緣以一定初速度滑過(guò)平臺(tái)后，垂直于邊界GH在t=T/4時(shí)刻進(jìn)入復(fù)合場(chǎng)，剛進(jìn)入復(fù)合場(chǎng)時(shí)磁場(chǎng)方向向外且為正值．小球以不變的速率運(yùn)動(dòng)至O點(diǎn)處恰好與絕緣物塊發(fā)生正碰，碰撞過(guò)程沒(méi)有能量損失（碰撞時(shí)間不計(jì)）．碰撞后小球恰能垂直于邊界GH返回低一級(jí)平臺(tái)上，而絕緣物塊從C點(diǎn)向右運(yùn)動(dòng)到最遠(yuǎn)點(diǎn)D，C、D間的距離為S，（重力加速度為g）
求：

（1）交變磁場(chǎng)變化的周期T；
（2）小球從高一級(jí)平臺(tái)左邊緣滑出的初速度v；
（3）絕緣物塊從C點(diǎn)運(yùn)動(dòng)至D點(diǎn)時(shí)，彈簧具有的彈性勢(shì)能E_p．

Answer 1

分析：（1）帶電小球進(jìn)入復(fù)合場(chǎng)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，重力與電場(chǎng)力平衡，可得到場(chǎng)強(qiáng)．小球在t=

1

4

T時(shí)刻進(jìn)入復(fù)合場(chǎng)，與物塊碰后做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，恰能垂直于邊界GH返回低一級(jí)平臺(tái)上，返回低一級(jí)臺(tái)階的過(guò)程，磁場(chǎng)方向與小球進(jìn)入復(fù)合場(chǎng)時(shí)磁場(chǎng)方向相反，說(shuō)明小球從高一級(jí)平臺(tái)進(jìn)入復(fù)合場(chǎng)到與物塊碰撞經(jīng)過(guò)的時(shí)間等于

T

4

，由小球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的周期公式T′=

2πm

qB

即可求出交變磁場(chǎng)變化的周期T；
（2）小球在復(fù)合場(chǎng)中由洛倫茲力提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律求解小球從高一級(jí)平臺(tái)左邊緣滑出的初速度v；
（3）根據(jù)牛頓第二定律求出小球與物塊碰后的速率，根據(jù)能量守恒求出物塊獲得的動(dòng)能，并由能量守恒求解絕緣物塊從C點(diǎn)運(yùn)動(dòng)至D點(diǎn)時(shí)，彈簧具有的彈性勢(shì)能E_p．

解答：解：（1）帶電小球垂直于邊界GH進(jìn)入復(fù)合場(chǎng)，做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，則有：
qE=mg…①
帶電小球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)由洛倫茲力提供向心力，且經(jīng)過(guò)半個(gè)圓周運(yùn)動(dòng)到達(dá)O點(diǎn)，碰后再經(jīng)過(guò)半個(gè)圓周回到二級(jí)平臺(tái)．設(shè)小球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的周期為T(mén)′，則：
T′=

2πm

qB

…②
因?yàn)?span id="bhvs0k5" class="MathJye" mathtag="math" style="whiteSpace:nowrap;wordSpacing:normal;wordWrap:normal">

T

4

=

T′

2

，得T=2T′，則由①②，得交變磁場(chǎng)變化的周期：T=

4πE

gB0

（2）由牛頓第二定律得：qvB₀=m

v2

r

…③
由幾何關(guān)系得：r=

h

2

…④
由①③④，解得：v=

gB0h

2E

…⑤
（3）設(shè)小球碰后的速度大小為v′，碰后做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為r′，由牛頓第二定律得：
qv′B₀=m

v′2

r′

…⑥
由幾何關(guān)系有：r′=

h

4

…⑦
聯(lián)立解得：v′=

gB0h

4E

…⑧
設(shè)碰后物塊獲得的動(dòng)能為E_k，因碰撞過(guò)程沒(méi)有能量損失，則有：
 

1

2

mv2=

1

2

mv′2+E_k…⑨
物塊從C到D過(guò)程，由能量守恒定律得：
E_k=fs+E_p…⑩
由⑤⑧⑨⑩解得：E_p=

3mq2 B 2 0 h2

32E2

-fs．
答：
（1）交變磁場(chǎng)變化的周期T為

4πE

gB0

；
（2）小球從高一級(jí)平臺(tái)左邊緣滑出的初速度v是

gB0h

2E

；
（3）絕緣物塊從C點(diǎn)運(yùn)動(dòng)至D點(diǎn)時(shí)，彈簧具有的彈性勢(shì)能E_p是

3mq2 B 2 0 h2

32E2

-fs．

點(diǎn)評(píng)：本題要通過(guò)分析，得到小球圓周運(yùn)動(dòng)的周期與交變磁場(chǎng)變化的周期T的關(guān)系，根據(jù)牛頓第二定律求出小球與物塊碰撞前后的速率是常規(guī)方法．此題綜合性較強(qiáng)．