Question

（2011?靜安區(qū)一模）如圖1所示，相距為L(zhǎng)的光滑平行金屬導(dǎo)軌與水平面的夾角為α，導(dǎo)軌一部分處在垂直導(dǎo)軌平面的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中，OO′為磁場(chǎng)邊界，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，導(dǎo)軌右端接有定值電阻R，導(dǎo)軌電阻忽略不計(jì)．在距OO′為L(zhǎng)處垂直導(dǎo)軌放置一質(zhì)量為m、電阻不計(jì)的金屬桿ab．
（1）若ab桿在平行于斜面的恒力作用下由靜止開始沿斜面向上運(yùn)動(dòng)，其速度平方一位移關(guān)系圖象如圖2所示，圖中v₁和v₂為已知．則在發(fā)生3L位移的過程中，電阻R上產(chǎn)生的電熱Q₁是多少？
（2）ab桿在離開磁場(chǎng)前瞬間的加速度是多少？
（3）若磁感應(yīng)強(qiáng)度B=B₀+kt（k為大于0的常數(shù)），要使金屬桿ab始終靜止在導(dǎo)軌上的初始位置，試分析求出施加在ab桿的平行于斜面的外力．

Answer 1

分析：從能量守恒的角度判斷：ab桿在拉力作用下通過磁場(chǎng)區(qū)域時(shí)，拉力做的功等于桿克服重力做的功和桿動(dòng)能的增量以及電路中電阻放出的焦耳熱之和；ab桿離開磁場(chǎng)瞬間可以求出桿所受的安培力，對(duì)桿受力分析，根據(jù)牛頓第二定律可以求出桿的加速度a．
當(dāng)磁場(chǎng)按B=B₀+kt規(guī)律變化時(shí)，由于ab靜止在導(dǎo)軌上的初始位置，表示出感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)，由平衡條件求解．

解答：解：（1）物體的位移為3L，在0--L段，恒力F、重力mg及安培力F_安對(duì)物體做功，安培力的功等于電阻上產(chǎn)生的電熱Q₁，
由動(dòng)能定理：F L-mg L sinα+W_安=

1

2

mv₁²                      
而：W_安=-Q₁                                             
在L--3L段，由動(dòng)能定理得：
（F-mgsinα）2L=

1

2

mv₂²-

1

2

mv₁²                              
解得：Q₁=

1

4

m（v₂²-3v₁²）                                     
（2）ab桿在離開磁場(chǎng)前瞬間，沿軌道方向受重力分力mg sinα、安培力F_安和恒力F作用．
F_安=

B2L2v1

R

a=

F-mgsinα-F安

m

解得：a=

v 2 2 - v 2 1

4L

-

B2L2v1

mR

（3）當(dāng)磁場(chǎng)按B=B₀+kt規(guī)律變化時(shí)，由于ab靜止在導(dǎo)軌上的初始位置，
所以感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)為：E=

△Φ

△t

=kL²，
安培力為：F_安=BIL=

(B0+kt)kL3

R

由平衡條件得：F-mgsinα+F_安=0
解得：F=mgsinα-

(B0+kt)kL3

R

①若mgsinα≤

kL3

R

B0時(shí)，F(xiàn)的方向沿斜面向下．                    
②若mgsinα＞

kL3

R

B0時(shí)，F(xiàn)的方向先沿斜面向上；                   
當(dāng)經(jīng)過t=

mgRsinα

k2L3

-

B0

k

時(shí)，F(xiàn)的方向又將變?yōu)檠匦泵嫦蛳拢?nbsp; 
答：（1）在發(fā)生3L位移的過程中，電阻R上產(chǎn)生的電熱Q₁是=

1

4

m（v₂²-3v₁²）    
（2）ab桿在離開磁場(chǎng)前瞬間的加速度是

v 2 2 - v 2 1

4L

-

B2L2v1

mR

（3）若mgsinα≤

kL3

R

B0時(shí)，F(xiàn)的方向沿斜面向下，若mgsinα＞

kL3

R

B0時(shí)，F(xiàn)的方向先沿斜面向上；                
當(dāng)經(jīng)過t=

mgRsinα

k2L3

-

B0

k

時(shí)，F(xiàn)的方向又將變?yōu)檠匦泵嫦蛳拢?/div>

點(diǎn)評(píng)：正確的對(duì)桿運(yùn)動(dòng)過程中分析，判斷桿在哪個(gè)過程中能量守恒？在哪個(gè)過程中滿足動(dòng)能定理？并能根據(jù)相應(yīng)的定則和定律列方程求解是解決本題的關(guān)鍵．