Question

【題目】如圖所示，將直徑2R的半圓形導(dǎo)軌固定在豎直面內(nèi)的A、B兩點(diǎn)，直徑AB與豎直方向的夾角為60°；在導(dǎo)軌上套一質(zhì)量為m的小圓環(huán)，原長為2R的彈性輕繩穿過圓環(huán)，繩端點(diǎn)固定在A、B兩點(diǎn)，已知彈性輕繩滿足胡克定律，在C處施加與AB方向平行斜向上的外力F （圖中沒有畫出），使得彈性繩AC與BC兩部分分別處于豎直方向和水平方向，此時(shí)小圓 環(huán)和軌道恰好無相互作用力，重力加速度為g，不計(jì)一切摩擦.

（1）求外力F的大小以及彈性輕繩的勁度系數(shù)k；

（2）撤去外力F，圓環(huán)由C點(diǎn)靜止釋放，當(dāng)圓環(huán)運(yùn)動(dòng)到導(dǎo)軌的最低點(diǎn)D時(shí)，求圓環(huán)的速率vD以及軌道對圓環(huán)的作用力FN；

（3）小圓環(huán)由C到D過程中，求小圓環(huán)機(jī)械能最小時(shí)的速度大小.（彈性輕繩形變量為x時(shí)具有彈性勢能為E=）

Answer 1

【答案】(1) F=，k= (2) ,FN=2mg+mg (3) v=

【解析】

（1）在C點(diǎn)：對圓環(huán)的受力如圖，建立坐標(biāo)系

水平方向：

Fcos30°=kx ①

豎直方向：

Fsin30°+kx=mg ②

由幾何關(guān)系：

x=（R+2Rcos30°-2R） ③

由①②③解得：

F=

K= ④

（2）對圓環(huán)：

在C到D的過程中：C、D兩點(diǎn)彈性輕繩的伸長量相同，所以彈性勢能相同

由動(dòng)能定理：

mg

可得：

在D點(diǎn)時(shí)：由牛頓第二定律

FN+kxcos30°+kxsin30°-mg=

代入數(shù)據(jù)得

FN=2mg+mg

（3）圓環(huán)從C運(yùn)動(dòng)到D的過程中，機(jī)械能守恒，由數(shù)學(xué)知識可知，在CD中點(diǎn)時(shí)，彈性繩長度最大，即彈性勢能最大，機(jī)械能最小,由機(jī)械能守恒定律可得

Mg(Rcos30°-R)=mv2+k(2R-2R)2-kx2

x =R-R

解之得：

v=