Question

假定月球繞地球作圓周運(yùn)動(dòng)，地球繞太陽也作圓周運(yùn)動(dòng)，且軌道都在同一平面內(nèi)．己知地球表面處的重力加速度g=9.80m/s²，地球半徑 R₀=6.37×10⁶m，月球質(zhì)量m=7.3×10²²kg，月球半徑 R_m=1.7×10⁶m，引力恒量G=6.67×10^-11N?m²/kg²，月心地心間的距離約為r_0m=3.84×10⁸m
（ i ）月球的球心繞地球的球心運(yùn)動(dòng)一周需多少天？
（ ii ）地球上的觀察者相繼兩次看到滿月需多少天？
（ iii ）若忽略月球繞地球的運(yùn)動(dòng)，設(shè)想從地球表面發(fā)射一枚火箭直接射向月球，試估算火箭到達(dá)月球表面時(shí)的速度至少為多少（結(jié)果要求兩位數(shù)字）？

Answer 1

（1）月球在地球引力作用下繞地心作圓周運(yùn)動(dòng)，設(shè)地球的質(zhì)量為me，月球繞地心作圓周運(yùn)動(dòng)的角速度為ωm，由萬有引力定律和牛頓定律有
G

mem

rm2

=mrmωm2   ①
另有：
G

me

Re2

=g         ②
月球繞地球一周的時(shí)間
Tm=

2π

ωm

         ③
由①②③三式解得：
Tm=2π

rm3 gRe2

=2×3.14×

(3.84×108)3 10×(1.7×106)2

s=2.37×10⁶s=27.4天
（2）滿月是當(dāng)月球、地球、和太陽成一直線時(shí)才有的，此時(shí)地球在月球和太陽之間，即圖中A的位置．當(dāng)?shù)诙�個(gè)滿月時(shí)，由于地球繞太陽的運(yùn)動(dòng)，地球位置已運(yùn)動(dòng)到A′．若以T_m′表示相繼兩次滿月經(jīng)歷的時(shí)間，ω_e表示地球繞太陽運(yùn)動(dòng)的角速度，由于ω_e和ω_m的方向相同，故有



ω_mT_m′=2π+ω_eT_m′
而ωm=

2π

Tm

ωe=

2π

Te

式中T_e為地球繞太陽運(yùn)動(dòng)的周期，T_e=365天．由以上三式得
T_m′=

TeTm

Te-Tm

=29.6天
（3）從地面射向月球的火箭一方面受到地球的引力作用，另一方面也受到月球的引力作用．當(dāng)火箭離地球較近時(shí)，地球的引力大于月球的引力；當(dāng)離月球較近時(shí)，月球的引力大于地球的引力．作地心和月心的連線，設(shè)在地月間某一點(diǎn)處，地球作用于火箭的引力的大小正好等于月球作用于火箭的引力的大�。�以r表示到月球中心的距離，則有G

mem

(rm-r)2

=G

mmm

r2

式中m為火箭的質(zhì)量，由上式得
(

me

mm

-1) r2+2rmr-rm2=0
解得：r=3.8×10⁷m
從地球表面發(fā)射直接射向月球的火箭只要能到達(dá)O點(diǎn)，則過O點(diǎn)后，因月球引力大于地球引力，它便能在月球引力作用下到達(dá)月球，這樣發(fā)射時(shí)火箭離開地面時(shí)的速度最小，它到達(dá)月球時(shí)的速度也最小．設(shè)火箭剛達(dá)到月球時(shí)的最小速度為v，則由機(jī)械能守恒定律有
-G

mem

rm-r

-G

mmm

r

=-G

mem

rm-Rm

-G

mmm

Rm

+

1

2

mv2

解得：v=

2Gme( 1 rm-Rm - 1 rm-r )+2Gmm( 1 Rm- 1 r )

=2.3×10³m/s
答：（ 1 ）月球的球心繞地球的球心運(yùn)動(dòng)一周需27.4天；
（ 2）地球上的觀察者相繼兩次看到滿月需29.6天；
（ 3）若忽略月球繞地球的運(yùn)動(dòng)，設(shè)想從地球表面發(fā)射一枚火箭直接射向月球，火箭到達(dá)月球表面時(shí)的速度至少為2.3×10³m/s．