Question

如圖為倉庫中常用的皮帶傳輸裝置示意圖，它由兩臺(tái)皮帶傳送機(jī)組成，一臺(tái)水平傳送，A、B兩端相距3m，另一臺(tái)傾斜，傳送帶與地面的傾角θ=37°，C、D兩端相距4.45m，B、C相距很近．水平部分AB以5m/s的速率順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)，將質(zhì)量為10kg的一袋大米放在A端，薊達(dá)B端后，速度大小不變地傳到傾斜的CD部分，米袋與傳送帶間的動(dòng)摩擦因數(shù)均為0.5．試求：（g取10m/s²）
（1）若CD部分傳送帶不運(yùn)轉(zhuǎn)，求米袋沿傳送帶所能上升的最大高度．
（2）若要米袋能被送到D端，求CD部分順時(shí)針運(yùn)轉(zhuǎn)的速度應(yīng)滿足的條件．
（3）若米袋恰能傳送到D端，則傳送一袋大米因?yàn)槟Σ炼�產(chǎn)生的熱能為多少．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)牛頓第二定律結(jié)合運(yùn)動(dòng)學(xué)公式求出米袋達(dá)到水平傳送帶速度時(shí)的位移，從而判斷出米袋在傳送帶上的運(yùn)動(dòng)情況，再結(jié)合牛頓第二定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)公式求出上升的最大高度．
（2）當(dāng)米袋在傾斜傳送帶上時(shí)，當(dāng)速度大于傳送帶速度時(shí)，物體所受的摩擦力向下，米袋以較大加速度減速，當(dāng)速度小于傳送帶速度時(shí)，物體所受摩擦力向上，米袋以較小加速度減速，結(jié)合牛頓第二定律，抓住兩段過程中的位移等于傳送帶CD的長度，求出傳送帶傳動(dòng)的最小速度，從而得知CD部分順時(shí)針運(yùn)轉(zhuǎn)的速度應(yīng)滿足的條件．
（3）結(jié)合牛頓第二定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)公式分別求出米袋在AB段以及CD段的相對(duì)路程，從而根據(jù)Q=fx_相對(duì)求出產(chǎn)生的熱量．

解答：解：（1）設(shè)米袋在水平傳送帶加速前進(jìn)時(shí)間為t₁，水平傳送帶的速度為v₀，米袋受力如圖所示．
μmg=ma₁
t1=

v0

a1

x1=

v0

2

t1
解得x₁=2.5m＜3m．
所以米袋在水平傳送帶上先加速再勻速，到達(dá)B點(diǎn)的速度為5m/s．
設(shè)米袋沿CD傳送帶能上升到P點(diǎn)．
mgsinθ+μmgcosθ=ma₂
-2a2

h

sinθ

=0-v02
得：h=0.75m．
（2）因tanθ=0.75＞μ=0.5，所以米袋在CD段上升過程中總會(huì)減速，設(shè)米袋在CD上先以較大加速度a₂減速，然后再以較小加速度a₃減速到D，且速度為零，設(shè)傳送帶速度為v₀′．
mgsinθ+μmgcosθ=ma₂
t2=

v0′-v0

-a2

x2=

v0+v0′

2

t2
mgsinθ-μmgcosθ=ma₃
t3=

0-v0′

-a3

x3=

v0′

2

t3
x₂+x₃=4.45m
解得v₀′=4m/s．即CD傳送帶順時(shí)針傳送速度大于等于4m/s．
（3）若米袋恰能到達(dá)D點(diǎn)，在AB傳送過程中的相對(duì)路程為：
△x₁=v₀t₁-x₁
在CD傳送過程中米袋相對(duì)皮帶有往返，所以相對(duì)路程為：
△x2=(

v0+v0′

2

-v0′)t2-(v0′-

v0′

2

)t3
Q=μmg△x₁+μmgcosθ△x₂
解得Q=287J．
答：（1）米袋沿傳送帶所能上升的最大高度為0.75m．
（2）CD傳送帶順時(shí)針傳送速度大于等于4m/s．
（3）傳送一袋大米因?yàn)槟Σ炼�產(chǎn)生的熱能為287J．

點(diǎn)評(píng)：解決本題的關(guān)鍵理清米袋在整個(gè)過程中的運(yùn)動(dòng)情況，結(jié)合牛頓第二定律、功能關(guān)系以及運(yùn)動(dòng)學(xué)公式進(jìn)行求解．