Question

土星周圍有許多大小不等的巖石顆粒，其繞土星的運(yùn)動(dòng)可視為圓周運(yùn)動(dòng)．其中有兩個(gè)巖石顆粒A和B與土星中心距離分別為r_A=8.0×10⁴km和r_B=1.2×10⁵km．忽略所有巖石顆粒間的相互作用．
（1）求巖石顆粒A和B的線速度之比．
（2）求巖石顆粒A和B的周期之比．
某同學(xué)的解答為：因?yàn)閹r石顆粒在做圓周運(yùn)動(dòng)，可知線速度v=ωr．所以

vA

vB

=

rA

rB

，然后根據(jù)圓周運(yùn)動(dòng)中周期和線速度的關(guān)系式求出周期之比．你同意上述解答嗎？若同意請列出主要運(yùn)算步驟求出結(jié)果；若不同意，則說明原因，并求出正確結(jié)果．

Answer 1

分析：（1）由萬有引力提供向心力

GM0m

r2

=

mv2

r

即可列式求解；
（2）在上一問的前提下，根據(jù)T=

2πr

v

即可求解；

解答：解：這位同學(xué)的解答不正確，兩顆衛(wèi)星的角速度不相同．正確的解法如下：
（1）設(shè)土星質(zhì)量為M₀，顆粒質(zhì)量為m，顆粒距土星中心距離為r，線速度為v，
根據(jù)牛頓第二定律和萬有引力定律：

GM0m

r2

=

mv2

r

解得：v=

GM0 r

對于A、B兩顆粒分別有：vA=

GM0 rA

和vB=

GM0 rB

得：

vA

vB

=

6

2

（2）設(shè)顆粒繞土星作圓周運(yùn)動(dòng)的周期為T，則：T=

2πr

v

對于A、B兩顆粒分別有：TA=

2πrA

vA

和TB=

2πrB

vB

得：

TA

TB

=

2 6

9

答：這位同學(xué)的解答不正確，兩顆衛(wèi)星的角速度不相同．正確的解法如上所示．

點(diǎn)評：本題是萬有引力定律得簡單應(yīng)用問題，可列出表達(dá)式直接對比求解．