Question

用長為L的細(xì)線拉一質(zhì)量為m的小球，小球帶電量為+q，細(xì)線一端懸于固定點O，整個裝置放在水平向右一足夠大的勻強(qiáng)電場中，小球靜止時細(xì)線與豎直方向的夾角為θ，電場范圍足夠大，不計空氣阻力，重力加速度為g，求：
（1）勻強(qiáng)電場的電場強(qiáng)度大�。�
（2）將小球拉至O點正下方最低點由靜止釋放，小球向上擺動過程中的最大速度大小；
（3）在（2）問中，小球運(yùn)動到最高點時細(xì)線對小球的拉力大�。�
（4）若將小球拉至O點正下方最低點時給它一水平向右的初速度，小球在豎直面內(nèi)做完整的圓周運(yùn)動，這個初速度至少是多大？

Answer 1

【答案】分析：（1）小球靜止A點時，受到重力、電場力和繩子的拉力而平衡，根據(jù)平衡條件求出電場強(qiáng)度的大�。�
（2）將小球拉至O點正下方最低點由靜止釋放，小球向上擺動過程中經(jīng)過平衡位置時速度最大，根據(jù)動能定理求出最大速度．
（3）小球到最高點時，速度為零，向心力為零，繩子的拉力等于重力和電場力沿法線方向的合力．
（4）當(dāng)小球恰好到達(dá)A點關(guān)于懸點的對稱點時，由電場力和重力的合力提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律求出小球經(jīng)這點的速度，由動能定理求出初速度．
解答：解：（1）小球靜止A點時，受力如圖所示
據(jù)三力平衡條件，得
   tanθ=
解得，E=  ①
（2）小球運(yùn)動到平衡位置時速度最大，由動能定理，得
   qELsinθ-mgL（1-cosθ）=mv² ②
將①式代入，得
v=  ③
小球從最底點到最高點時，速度為零，向心力為零，細(xì)線與豎直方向成α角，由動能定理，得
qELsinα-mgL（1-cosα）=0  ④
將①式代入④式，得
   tanθsinα=1-cosα
解得，α=2θ
在最高點，重力與電場力合力的法線分力與拉力平衡，設(shè)線的拉力為F
F=mgcos2θ+qEsin2θ=mgcos2θ+mgtanθ?sin2θ=mg（2cos²θ-1）+mgtanθ?2sinθcosθ=mg
（3）設(shè)B點與A點對懸點O對稱，即AB為圓軌跡的直徑，當(dāng)小球恰好能運(yùn)動到B點時，就能在豎直面內(nèi)恰好做完整的圓周運(yùn)動
在B點，重力與電場力的合力提供向心力
  =m
設(shè)將小球拉至O點正下方最低點時給它一水平向右的初速度為v，由動能定理，得
-2mgLcosθ-qELsinθ=mv_B²-mv²
解得
v=
答：
（1）勻強(qiáng)電場的電場強(qiáng)度大小E=；
（2）將小球拉至O點正下方最低點由靜止釋放，小球向上擺動過程中的最大速度大小v=；
（3）在（2）問中，小球運(yùn)動到最高點時細(xì)線對小球的拉力大小為mg；
（4）若將小球拉至O點正下方最低點時給它一水平向右的初速度，小球在豎直面內(nèi)做完整的圓周運(yùn)動，這個初速度至少是v=．
點評：本題小球的運(yùn)動類似于單擺，關(guān)于平衡位置具有對稱性，α=2θ．B點相當(dāng)于豎直平面內(nèi)圓周運(yùn)動的最高點，也稱為物理最高點．