Question

如圖所示，兩平行光滑的金屬導(dǎo)軌MN、PQ固定在水平面上，相距為L，處于豎直向下的磁場中，整個(gè)磁場由n個(gè)寬度皆為x₀的條形勻強(qiáng)磁場區(qū)域1、2…n組成，從左向右依次排列，磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小分別為B、2B、3B…nB，兩導(dǎo)軌左端MP間接入電阻R，一質(zhì)量為m的金屬棒ab垂直于MN、PQ放在水平導(dǎo)軌上，與導(dǎo)軌電接觸良好，不計(jì)導(dǎo)軌和金屬棒的電阻．
（1）對(duì)導(dǎo)體棒ab施加水平向右的力，使其從圖示位置開始運(yùn)動(dòng)并穿過n個(gè)磁場區(qū)，求導(dǎo)體棒穿越磁場區(qū)1的過程中通過電阻R的電量q；
（2）對(duì)導(dǎo)體棒ab施加水平向右的恒力F₀，讓它從磁場區(qū)1左側(cè)邊界處開始運(yùn)動(dòng)，當(dāng)向右運(yùn)動(dòng)距離

x0

2

時(shí)做勻速運(yùn)動(dòng)，求棒通過磁場區(qū)1所用的時(shí)間t；
（3）對(duì)導(dǎo)體棒ab施加水平向右的拉力，讓它從距離磁場區(qū)1左側(cè)x=x₀的位置由靜止開始做勻加速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)棒ab進(jìn)入磁場區(qū)1時(shí)開始做勻速運(yùn)動(dòng)，此后在不同的磁場區(qū)施加不同的拉力，使棒ab保持做勻速運(yùn)動(dòng)穿過整個(gè)磁場區(qū)，求棒ab通過第i磁場區(qū)時(shí)的水平拉力F_i和棒ab在穿過整個(gè)磁場區(qū)過程中回路產(chǎn)生的電熱Q．

Answer 1

（1）電路中產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢為：E=

△Φ

△t

通過電阻R的電量為：q=I△t=

E△t

R

導(dǎo)體棒通過I區(qū)過程：△Φ=BLx₀
解得：q=

BLx0

R

故導(dǎo)體棒穿越磁場區(qū)1的過程中通過電阻R的電量：q=

BLx0

R

．
（2）設(shè)導(dǎo)體棒運(yùn)動(dòng)時(shí)速度為v₀，則產(chǎn)生的感應(yīng)電流為：
I0=

E

R

=

BLv0

R

導(dǎo)體棒受到的安培力與水平向右的恒力F₀平衡，則
BI₀L=F₀
解得：v0=

F0R

B2L2

設(shè)棒通過磁場去I在△t時(shí)間內(nèi)速度的變化為△v，對(duì)應(yīng)的位移為△x，則
F0-BIL=m

△v

△t

△v=

F0

m

△t-

B2L2

mR

v△=

F0

m

△t-

B2L2

mR

△x
則∑△v=

F0

m

∑△t-

B2L2

mR

∑△x
解得：t=

B2L2x0

F0R

+

mR

B2L2

故棒通過磁場區(qū)1所用的時(shí)間t=

B2L2x0

F0R

+

mR

B2L2

．
（3）設(shè)進(jìn)入I區(qū)時(shí)拉力為F₁，速度v，則有：
F1x0=

1

2

mv2 
 F1-

B2L2v

R

 =0
解得：F1=

2B4L4x0

mR2

，v=

2B2L2x0

mR

進(jìn)入i區(qū)的拉力：Fi=

2i2B4L4x0

mR2

．
導(dǎo)體棒以后通過每區(qū)域都以速度v做勻速運(yùn)動(dòng)，由功能關(guān)系有：
Q=F₁x₀+F₂x₀+…+F_nx₀
解得：Q=

2 x 20 B4L4

mR2

(12+22+…n2)
故棒ab通過第i磁場區(qū)時(shí)的水平拉力的拉力：Fi=

2i2B4L4x0

mR2

，棒ab在穿過整個(gè)磁場區(qū)過程中回路產(chǎn)生的電熱Q=

2 x 20 B4L4

mR2

(12+22+…n2)．