Question

有一個固定豎直放置的圓形軌道，半徑為R，由左右兩部分組成．如圖所示，右半部分AEB是光滑的，左半部分BFA是粗糙的．現(xiàn)在最低點A給一質量為m的小球一個水平向右的初速度v₀，使小球沿軌道恰好能過最高點B，且又能沿BFA回到A點，回到A點時對軌道的壓力為4mg．不計空氣阻力，重力加速度為g．求：
（1）小球的初速度v₀大�。�
（2）小球沿BFA回到A點時的速度大�。�
（3）小球由B經F回到A的過程中克服摩擦力所做的功．

Answer 1

分析：給小球一初速度后，小球沿AEB做圓周運動，小球恰好過最高點，故在最高點B處只受重力，mg=m

vB2

R

解得小球在B點v_B=

gR

．解決該題關鍵在于此．然后有動能定理或機械能守衡定律解出v₀．
在最低點A、小球受到的支持力和重力的合力充當向心力．由此可以解出v_A．再由動能定理即可解出摩擦力作的功．

解答：解：（1）對小球由AEB恰好通過B點，根據牛頓第二定律：
mg=m

vB2

R

   v_B=

gR

根據動能定理：

1

2

mv B2-

1

2

mv 02=-mg-R    解得：v₀=

5gR

  
（2）由于回到A點時對軌道壓力為4mg
根據牛頓第二定律：4mg-mg=

mvA2

R

，v_A=

3gR

 
（3）小球由B經F回到A的過程中，根據動能定理：
2mgR-W_f=

1

2

mv_A²-

1

2

mgR  
   解得：W_f=mgR    
答：（1）小球的初速度v₀大小為

5gR

；
（2）小球沿BFA回到A點時的速度大小

3gR

；
（3）小球由B經F回到A的過程中克服摩擦力所做的功mgR．

點評：題為圓周運動和機械能的結合，只要掌握了相關知識，挖掘出題中的關鍵字句隱含的條件，運用圓周運動和機械能的知識即可解決．