Question

美國(guó)宇航局宣布他們?cè)谔��?yáng)系外發(fā)現(xiàn)了一顆類(lèi)似地球的、可適合人類(lèi)居住的行星--“開(kāi)普勒-22b”．隨著科學(xué)技術(shù)的迅速發(fā)展，設(shè)想某一天，同學(xué)們登上該星球并做如下實(shí)驗(yàn)：實(shí)驗(yàn)裝置如圖甲從軌道AB上高度H的光滑軌道由傾斜軌道AB和圓弧軌道BC組成，將質(zhì)量為m₀﹦0.2kg的小球，從軌道AB上高度為H的高處某點(diǎn)靜止釋放，用力傳感器測(cè)出小球經(jīng)過(guò)C點(diǎn)時(shí)對(duì)軌道的壓力F，改變高度H的大小，可測(cè)出相應(yīng)的F大小，F(xiàn)隨H變化的關(guān)系如圖乙所示，萬(wàn)有引力常量G﹦6.67×10^-11N?m²/kg²．求：

（1）若該行星的半徑R﹦5000km．該行星的質(zhì)量M；
（2）在（1）問(wèn)的前提下，若已知質(zhì)量為m的飛船距該行星中心距離為r處的引力勢(shì)能表達(dá)式為E_P﹦-

GMm

r

，將質(zhì)量為m=2000kg的飛船，從該行星上發(fā)射到距離行星表面的高度h=5000km的圓軌道上，火箭至少要對(duì)飛船做多少功？（為簡(jiǎn)化計(jì)算不考慮行星自轉(zhuǎn)對(duì)發(fā)射的影響，計(jì)算結(jié)果保留3位有效數(shù)字）

Answer 1

分析：（1）小球從A到C運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，只有重力做功，機(jī)械能守恒，根據(jù)機(jī)械能守恒定律和牛頓第二定律求出小球?qū)�軌道C點(diǎn)的壓力與H的關(guān)系式，然后結(jié)合F-H圖線求該行星表面的重力加速度．
（2）飛船繞該行星做圓周運(yùn)動(dòng)需要的向心力由萬(wàn)有引力提供G

Mm

r2

=m

v2

r

，解得速度，故在軌道r上的動(dòng)能為Ek=

1

2

mv2，根據(jù)功能關(guān)系W=E_k+E_p，代入數(shù)據(jù)計(jì)算即可．

解答：解：（1）小球過(guò)C點(diǎn)時(shí)滿足F+mg=m

vc2

r

又根據(jù)mg（H-2r）=

1

2

mv_C²      
聯(lián)立解得F=

2mg

r

H-5mg          
由題圖可知：H₁=0.5 m時(shí)F₁=0；H₂=1.0 m時(shí)F₂=5 N；
可解得g=5 m/s²   
在該行星表面的物體受到的重力等于萬(wàn)有引力G

Mm

R2

=mg
所以該行星的質(zhì)量M=

R2g

G

=

(5000×103)2×5

6.67×10-11

kg=1.87×10²⁴kg  
（2）飛船繞該行星做圓周運(yùn)動(dòng)需要的向心力由萬(wàn)有引力提供G

Mm

r2

=m

v2

r

解得v=

GM r

，故在軌道r上的動(dòng)能為Ek=

1

2

mv2=

GMm

2r

根據(jù)功能關(guān)系火箭至少要對(duì)飛船做功為W=E_k+E_p=

GMm

2r

+

GMm

r

=

3GMm

2r

=3.74×10¹⁰J
答：（1）該行星的質(zhì)量M為1.87×10²⁴kg；（2）火箭至少要對(duì)飛船做功為3.74×10¹⁰J．

點(diǎn)評(píng)：本題是牛頓運(yùn)動(dòng)定律與機(jī)械能守恒定律的綜合題，解決本題的關(guān)鍵根據(jù)該規(guī)律得出壓力F與H的關(guān)系式．