Question

一名宇航員抵達(dá)某星球后，測得：①載人飛船環(huán)繞該星球表面n圈所用的時(shí)間為t；②擺長為l的單擺在該星球上的周期為T．已知萬有引力恒量為G，不計(jì)阻力．試根據(jù)題中所提供的條件和測量結(jié)果，求：
（1）環(huán)繞該星球飛行的衛(wèi)星的最小周期；
（2）該星球的密度；
（3）該星球的第一宇宙速度是多大？

Answer 1

分析：（1）根據(jù)題意求出載人飛船繞星球表面做圓周運(yùn)動(dòng)的周期，該周期是飛船繞星球運(yùn)動(dòng)的最小周期；
（2）載人飛船繞星球做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力由萬有引力提供，由牛頓第二定律列方程可以求出星球的質(zhì)量，然后由密度公式求出星球的密度；
（3）由單擺的周期公式求出星球表面的重力加速度，星球表面的物體受到的重力等于萬有引力，
繞星球表面做圓周運(yùn)動(dòng)的速度是第一宇宙速度，根據(jù)萬有引力公式列方程，求出該星球的第一宇宙速度．

解答：解：（1）載人飛船繞星球表面運(yùn)動(dòng)時(shí)，軌道半徑最小，周期最小，
由題意知，環(huán)繞該星球飛行的衛(wèi)星的最小周期T_最小=

t

n

；
（2）設(shè)星球的質(zhì)量為M，半徑是R，載人飛船質(zhì)量是m，載人飛船繞星球表面做圓周運(yùn)動(dòng)，
軌道半徑等于星球半徑，載人飛船繞星球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的向心力由萬有引力提供，
由牛頓第二定律得：G

mM

R2

=m(

2π

t n

)2R，
星球質(zhì)量M=

4π2n2R3

Gt2

    ①，
星球的密度ρ=

M

V

=

4π2n2R3 Gt2

4 3 πR3

=

3πn2

Gt2

；
（3）單擺的周期T=2π

l g

，
則星球表面的重力加速度g=

4π2l

T2

，
位于星球表面的物體m′受到的重力等于萬有引力，
即：m′g=G

Mm′

R2

，則GM=gR² ②，
由①②得：R=

gt2

4π2n2

   ③；
衛(wèi)星繞星球表面做圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，即軌道半徑等于星球半徑時(shí)的速度是第一宇宙速度，
萬有引力提供向心力，由牛頓第二定律得：
G

Mm

R2

=m

v2

R

，
v=

GM R

=

gR2 R

=

gR

=

g× gt2 4π2n2

=g

t

2πn

=

4π2l

T2

×

t

2πn

=

2πl(wèi)t

nT2

；
答：（1）環(huán)繞該星球飛行的衛(wèi)星的最小周期是

t

n

．
（2）該星球的密度是

3πn2

Gt2

．
（3）該星球的第一宇宙速度是

2πl(wèi)t

nT2

．

點(diǎn)評(píng)：衛(wèi)星繞行星表面做圓周運(yùn)動(dòng)的速度是第一宇宙速度，衛(wèi)星做圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，萬有引力提供向心力，解題時(shí)注意單擺周期公式的應(yīng)用，注意黃金代換的應(yīng)用．