Question

如圖所示，半徑為R的1/4光滑圓弧支架豎直放置，支架底AB離地的距離為2R，圓弧邊緣C處有一光滑的小定滑輪，一根跨過定滑輪、足夠長的輕繩，兩端分別系著可視為質(zhì)點的質(zhì)量分別為m₁與m₂的物體，m₁緊靠小定滑輪，且m₁＞m₂．開始時m₁、m₂均靜止．
（1）為使m₁釋放后能到達A點，m₁與m₂之間必須滿足什么關(guān)系？
（2）如果m₁=2m₂，試求m₁釋放后經(jīng)過圓弧最低點A時的速度大�。�
（3）若質(zhì)量為m的m₁到達圓弧最低點時繩突然斷開，求m₁落地時重力的功率．

Answer 1

分析：（1）為使m₁能到達A點，則要求其速度大于等于零即可．m₁釋放后到經(jīng)過最低點A點的過程中，根據(jù)m₁與m₂組成系統(tǒng)，機械能守恒求解．
（2）兩個物體構(gòu)成的系統(tǒng)只有重力勢能和動能相互轉(zhuǎn)化，機械能守恒；同時繩子不可伸長，沿著繩子方向的分速度相等；
（3）根據(jù)平拋運動的規(guī)律和瞬時功率的表達式求解．

解答：解：（1）根據(jù)題意得m₁釋放后到經(jīng)過最低點A點的過程中，
m₂上升的高度為

2

R，
為了使m₁釋放后能到達A點，根據(jù)m₁與m₂組成系統(tǒng)，機械能守恒有：
m₁gR-m₂g?

2

R≥0，
解得：m₁≥

2

m₂．
（2）設(shè)m₁運動到最低點時速度為v₁，此時m₂的速度為v₂，速度分解如圖，

沿著繩子方向的速度相等，得：v₂=v₁sin45°  
由m₁與m₂組成系統(tǒng)，機械能守恒，有m₁gR-m₂g?

2

R=

1

2

m₁

v

2 1

+

1

2

m₂

v

2 2

解得：v₁=2

(2- 2 )gR 5

（3）繩突然斷開，m₁做平拋運動，設(shè)m₁落地時豎直方向的速度大小為v_y，
根據(jù)運動學公式得：

v

2 y

=2g?2R
m₁落地時重力的功率P=mgv_y
聯(lián)立解得：P=2mg

gR

．
答：（1）為使m₁釋放后能到達A點，m₁與m₂之間必須滿足m₁≥

2

m₂，
（2）如果m₁=2m₂，m₁釋放后經(jīng)過圓弧最低點A時的速度大小是2

(2- 2 )gR 5

．
（3）若質(zhì)量為m的m₁到達圓弧最低點時繩突然斷開，m₁落地時重力的功率是2mg

gR

．

點評：本題關(guān)鍵是單個物體機械能不守恒，但兩個物體系統(tǒng)機械能守恒；同時要明確通過繩子、輕桿連接的物體，沿著繩子、桿子方向的分速度一定相等．