Question

如圖（a）所示，在真空中，半徑為b的虛線所圍的圓形區(qū)域內(nèi)存在勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁場(chǎng)方向與紙面垂直．在磁場(chǎng)右側(cè)有一對(duì)平行金屬板M和N，兩板間距離也為b，板長(zhǎng)為2b，兩板的中心線O₁O₂與磁場(chǎng)區(qū)域的圓心O在同一直線上，兩板左端與O₁也在同一直線上．有一電荷量為+q、質(zhì)量為m的帶電粒子，以速率v₀從圓周上的P點(diǎn)沿垂直于半徑OO₁并指向圓心O的方向進(jìn)入磁場(chǎng)，當(dāng)從圓周上的O₁點(diǎn)飛出磁場(chǎng)時(shí)，給M、N板加上如圖（b）所示電壓u．最后粒子剛好以平行于N板的速度，從N板的邊緣飛出．不計(jì)平行金屬板兩端的邊緣效應(yīng)及粒子所受的重力．
（1）求磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度B；
（2）求交變電壓的周期T和電壓U₀的值；
（3）若t=

T

2

時(shí)，將該粒子從MN板右側(cè)沿板的中心線O₂O₁，仍以速率v₀射入M、N之間，求粒子從磁場(chǎng)中射出的點(diǎn)到P點(diǎn)的距離．

Answer 1

（1）粒子自P點(diǎn)進(jìn)入磁場(chǎng)向右偏轉(zhuǎn)，從O₁點(diǎn)水平飛出磁場(chǎng)，運(yùn)動(dòng)的半徑必為b，如圖一所示：洛倫茲力提供向心力，有：


qv0B=

m v 20

b

解得：B=

mv0

bq

由左手定則可知，磁場(chǎng)方向垂直紙面向外．
（2）粒子自O(shè)₁點(diǎn)進(jìn)入電場(chǎng)，做變加速曲線運(yùn)動(dòng)，最后恰好從N板的邊緣平行飛出（如圖二所示），設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t，則水平方向上有：


2b=v₀t 
在豎直方向上有：

b

2

=2n?

1

2

?

qU0

mb

(

T

2

)2
t=nT（n=1，2，…） 
解得  T=

2b

nv0

（n=1，2，…） 
U0=

nm v 20

2q

（n=1，2，…） 
（3）當(dāng)t=

T

2

粒子以速度v₀沿O₂O₁射入電場(chǎng)時(shí)，則該粒子恰好從M板邊緣以平行于極板的速度射入磁場(chǎng)（如圖三所示），且進(jìn)入磁場(chǎng)的速度仍為v₀，運(yùn)動(dòng)的軌道半徑仍為b．


設(shè)進(jìn)入磁場(chǎng)的點(diǎn)為Q，離開(kāi)磁場(chǎng)的點(diǎn)為R，圓心為O₃，如圖所示，四邊形OQ O₃R是菱形，故O R∥QO₃． 
所以P、O、R三點(diǎn)共線，即POR為圓的直徑．即PR間的距離為2b．
答：（1）求磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度為B=

mv0

bq

，方向垂直紙面向外．
（2）交變電壓的周期T為T=

2b

nv0

（n=1，2，…）
電壓U₀為U0=

nm v 20

2q

（n=1，2，…），
（3）粒子從磁場(chǎng)中射出的點(diǎn)到P點(diǎn)的距離為2b．