Question

如圖所示是游樂(lè)場(chǎng)中過(guò)山車(chē)的實(shí)物圖片，可將過(guò)山車(chē)的一部分運(yùn)動(dòng)簡(jiǎn)化為圖12的模型圖．模型圖中光滑圓形軌道的半徑R=8.0m，該光滑圓形軌道固定在傾角為θ=37°斜軌道面上的Q點(diǎn)，圓形軌道的最高點(diǎn)A與傾斜軌道上的P點(diǎn)平齊，圓形軌道與斜軌道之間圓滑連接．現(xiàn)使質(zhì)量為m的小車(chē)（視作質(zhì)點(diǎn)）從P點(diǎn)以一定的初速度v₀=12m/s沿斜面向下運(yùn)動(dòng)，不計(jì)空氣阻力，取g=10m/s²，sin37°=0.6，cos37°=0.8．若小車(chē)恰好能通過(guò)圓形軌道的最高點(diǎn)A處，則：
（1）小車(chē)在A點(diǎn)的速度為多大？（結(jié)果用根式表示）
（2）小車(chē)在圓形軌道運(yùn)動(dòng)時(shí)對(duì)軌道的最大壓力為多少？
（3）求斜軌道面與小車(chē)間的動(dòng)摩擦因數(shù)多大？（結(jié)果用分?jǐn)?shù)表示）

Answer 1

分析：（1）小車(chē)恰好能通過(guò)圓形軌道的最高點(diǎn)A處，軌道對(duì)小車(chē)的彈力為零，由重力提供圓周運(yùn)動(dòng)所需要的向心力，根據(jù)牛頓第二定律求出小車(chē)在A點(diǎn)的速度．
（2）根據(jù)動(dòng)能定理或機(jī)械能守恒求出小車(chē)在軌道B點(diǎn)是的速度，再運(yùn)用牛頓第二定律，通過(guò)支持力和重力的合力提供向心力，求出支持力，由牛頓第三定律得到壓力．
（3）對(duì)P到A全過(guò)程運(yùn)用動(dòng)能定理，重力做功為零，根據(jù)幾何關(guān)系求出在斜面上的位移，通過(guò)動(dòng)能定理求出動(dòng)摩擦因數(shù)．

解答：解：（1）由于小車(chē)恰能通過(guò)A點(diǎn)，由重力提供圓周運(yùn)動(dòng)所需要的向心力，根據(jù)牛頓第二定律得：
  mg=m

vA2

R

解得：vA=

gR

=4

5

m/s…①
（2）如圖，小車(chē)經(jīng)軌道最低點(diǎn)D時(shí)對(duì)軌道壓力最大．
設(shè)在D點(diǎn)軌道對(duì)小車(chē)的支持力為N
則有：N-mg=m

vD2

R

…②
小車(chē)由D到A的運(yùn)動(dòng)過(guò)程機(jī)械能守恒，
則有：2mgR=

1

2

mvD2-

1

2

mvA2…③
由①②③得：N=6mg
依牛頓第三定律，在D點(diǎn)小車(chē)對(duì)軌道的壓力N′=N=6mg．
（3）設(shè)PQ距離為L(zhǎng)，對(duì)小車(chē)由P到A的過(guò)程應(yīng)用動(dòng)能定理
得：-μmgLcos37°=

1

2

mvA2-

1

2

mv02…④
由幾何關(guān)系得：L=

R+Rcos37°

sin37°

…⑤
由①、④、⑤解得：μ=

1

6

答：
（1）小車(chē)在A點(diǎn)的速度為4

5

m/s．
（2）小車(chē)在圓形軌道運(yùn)動(dòng)時(shí)對(duì)軌道的最大壓力為6mg．
（3）求斜軌道面與小車(chē)間的動(dòng)摩擦因數(shù)為

1

6

．

點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了牛頓第二定律和動(dòng)能定理，關(guān)鍵是理清運(yùn)動(dòng)的過(guò)程，運(yùn)用合適的規(guī)律進(jìn)行求解．