Question

如圖所示，兩根豎直平行放置的光滑金屬導(dǎo)軌相距為L，中間接有一阻值為R的定值電阻，在兩導(dǎo)軌間abdc矩形區(qū)域內(nèi)分布有磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場，磁場方向垂直導(dǎo)軌平面向里，寬度為d．一質(zhì)量為m，電阻為r的導(dǎo)體棒MN垂直擱在導(dǎo)軌上，與磁場上邊邊界相距d₀．現(xiàn)使棒MN由靜止開始釋放，當(dāng)MN最終離開磁場前已開始做勻速直線運(yùn)動(dòng)，導(dǎo)軌電阻不計(jì)，棒下落過程中始終保持水平，并與導(dǎo)軌接觸良好．
（1）求MN在離開磁場下邊界時(shí)的速度大小；
（2）在通過磁場區(qū)域的過程中，求電流所做的功；
（3）試分析討論棒在磁場中各種可能出現(xiàn)的運(yùn)動(dòng)情況及其對應(yīng)的條件．

Answer 1

分析：（1）棒MN在離開磁場前已經(jīng)做勻速直線運(yùn)動(dòng)，處于平衡狀態(tài)，由安培力公式及平衡條件可以求出棒離開下邊界時(shí)的速度．
（2）從MN棒開始下滑到剛離開磁場的過程，運(yùn)用能量守恒定律可以求出金屬棒產(chǎn)生的焦耳熱．
（3）根據(jù)棒進(jìn)入磁場時(shí)的速度大小，討論棒在磁場中的運(yùn)動(dòng)情況．

解答：解：（1）設(shè)MN棒離開磁場邊界前做勻速運(yùn)動(dòng)的速度為v，產(chǎn)生的電動(dòng)勢為E=BLv    
電路中電流 I=

E

R+r

對MN棒，由平衡條件得 mg-BIL=0                   
解得 v=

mg(R+r)

B2L2

（2）從MN棒開始下滑到剛離開磁場的過程，由能量守恒定律得：
mg(d0+d)=E電+

1

2

mv2                 
解得整個(gè)電路中產(chǎn)生的焦耳熱為：E電=mg(d0+d)-

m3g2(R+r)2

2B4L4

則棒MN在通過磁場區(qū)的過程中產(chǎn)生的焦耳熱；E棒電=

r

R+r

[mg(d0+d)-

m3g2(R+r)2

2B4L4

]
（3）設(shè)棒自由落體d₀高度歷時(shí)為t₀，由d0=

1

2

g

t

2 0

，
得t0=

2d0 g

棒在磁場中勻速時(shí)速度為v=

mg(R+r)

B2L2

設(shè)t=

v

g

=

m(R+r)

B2L2

當(dāng)t₀=t，即d0=

m2g(R+r)2

2B4L4

時(shí)，棒進(jìn)入磁場后做勻速直線運(yùn)動(dòng)
當(dāng)t₀＜t，即d0＜

m2g(R+r)2

2B4L4

時(shí)，棒進(jìn)入磁場后做先加速后勻速直線運(yùn)動(dòng)
當(dāng)t₀＞t，即d0＞

m2g(R+r)2

2B4L4

時(shí)，棒進(jìn)入磁場后做先減速后勻速直線運(yùn)動(dòng)．
畫出棒在下落高度d+d₀過程中速度隨下落高度h變化所對應(yīng)的各種可能的圖線如圖所示．
答：
（1）棒MN在離開磁場下邊界時(shí)的速度為v=

mg(R+r)

B2L2

；
（2）棒MN在通過磁場區(qū)的過程中產(chǎn)生的焦耳熱為E棒電=

r

R+r

[mg(d0+d)-

m3g2(R+r)2

2B4L4

]；
（3）d0=

m2g(R+r)2

2B4L4

時(shí)，棒進(jìn)入磁場后做勻速直線運(yùn)動(dòng)，即d0＜

m2g(R+r)2

2B4L4

時(shí)，棒進(jìn)入磁場后做先加速后勻速直線運(yùn)動(dòng)，即d0＞

m2g(R+r)2

2B4L4

時(shí)，棒進(jìn)入磁場后做先減速后勻速直線運(yùn)動(dòng)．

點(diǎn)評：本題最后一問是本題的難點(diǎn)，根據(jù)棒進(jìn)入磁場的時(shí)刻進(jìn)行分析討論是正確解題的關(guān)鍵．