Question

如圖所示，“×”型光滑金屬導(dǎo)軌abcd固定在絕緣水平面上，ab和cd足夠長，∠aOc=60°．虛線MN與∠bOd的平分線垂直，O點(diǎn)到MN的距離為L．MN左側(cè)是磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B、方向豎直向下的勻強(qiáng)磁場．一輕彈簧右端固定，其軸線與∠bOd的平分線重合，自然伸長時左端恰在O點(diǎn)．一質(zhì)量為m的導(dǎo)體棒ef平行于MN置于導(dǎo)軌上，導(dǎo)體棒與導(dǎo)軌接觸良好．某時刻使導(dǎo)體棒從MN的右側(cè)處由靜止開始釋放，導(dǎo)體在被壓縮彈簧的作用下向左運(yùn)動，當(dāng)導(dǎo)體棒運(yùn)動到O點(diǎn)時彈簧與導(dǎo)體棒分離．導(dǎo)體棒由MN運(yùn)動到O點(diǎn)的過程中做勻速直線運(yùn)動．導(dǎo)體棒始終與MN平行．已知導(dǎo)體棒與彈簧彼此絕緣，導(dǎo)體棒和導(dǎo)軌單位長度的電阻均為r，彈簧被壓縮后所獲得的彈性勢能可用公式計算，k為彈簧的勁度系數(shù)，x為彈簧的形變量．
（1）證明：導(dǎo)體棒在磁場中做勻速直線運(yùn)動的過程中，感應(yīng)電流的大小保持不變；
（2）求彈簧的勁度系數(shù)k和導(dǎo)體棒在磁場中做勻速直線運(yùn)動時速度v的大�。�
（3）求導(dǎo)體棒最終靜止時的位置距O點(diǎn)的距離．

Answer 1

【答案】分析：（1）導(dǎo)體棒在磁場中做勻速直線運(yùn)動，根據(jù)E=BLv求出感應(yīng)電動勢，根據(jù)閉合電路歐姆定律求出感應(yīng)電流，判斷感應(yīng)電流是否為一定值．
（2）釋放導(dǎo)體棒后在未進(jìn)入磁場的過程中，導(dǎo)體棒和彈簧組成的系統(tǒng)機(jī)械能守恒，得出勻速運(yùn)動的速度大小，從而得知感應(yīng)電流的大小，根據(jù)牛頓第二定律2BIxtan30°-kx=0得出勁度系數(shù)k．
（3）導(dǎo)體棒過O點(diǎn)后與彈簧脫離，在停止運(yùn)動前做變減速運(yùn)動．根據(jù)牛頓第二定律BIl=ma，根據(jù)微分思想求出導(dǎo)體棒最終靜止時的位置距O點(diǎn)的距離．
解答：解：（1）設(shè)導(dǎo)體棒在磁場中做勻速直線運(yùn)動時的速度為v，某時刻導(dǎo)體棒在回路中的長度為l，則此時感應(yīng)電動勢E=Blv
此時回路的電阻R=3lr
回路中的感應(yīng)電流①
因?yàn)锽、v和r均為不變量，所以感應(yīng)電流I為不變量．
（2）釋放導(dǎo)體棒后在未進(jìn)入磁場的過程中，導(dǎo)體棒和彈簧組成的系統(tǒng)機(jī)械能守恒，則有②
導(dǎo)體棒在磁場中做勻速直線運(yùn)動的過程中，設(shè)某時刻導(dǎo)體棒距O的距離為x，
根據(jù)牛頓第二定律有2BIxtan30°-kx=0③
由①②③解得④⑤
（3）導(dǎo)體棒過O點(diǎn)后與彈簧脫離，在停止運(yùn)動前做減速運(yùn)動．設(shè)某時刻導(dǎo)體棒距O點(diǎn)的距離為x，導(dǎo)體棒在回路中的長度為l，加速度為a，速度為v，回路中的電流強(qiáng)度為I，根據(jù)牛頓第二定律有BIl=ma
又因?yàn)?nbsp; 
所以    ⑥
取一段很短的時間△t，導(dǎo)體棒在回路中的長度為l、加速度為a和速度為v，l、a和v可認(rèn)為不變．
設(shè)在這段時間內(nèi)導(dǎo)體棒速度的變化量大小為△v，回路所圍面積的變化量為△S．將⑥式左右兩邊同時乘以△t，可得
則導(dǎo)體棒從O點(diǎn)開始運(yùn)動到靜止的過程可表示為
即     
所以   
設(shè)導(dǎo)體棒最終靜止的位置距O點(diǎn)的距離為x，則⑦
由⑤⑦式可解得
點(diǎn)評：本題為電磁感應(yīng)與力和能綜合的好題，知道在運(yùn)動過程中電流為一定值．第（3）問較難，導(dǎo)體棒與彈簧脫離后做變減速運(yùn)動，需根據(jù)微分的思想結(jié)合牛頓第二定律去求導(dǎo)體棒最終靜止時的位置距O點(diǎn)的距離．