Question

如圖所示在平面直角坐標(biāo)系xoy中，第 I象限存在沿y軸負(fù)方向的勻強(qiáng)電場，第 IV象限存在垂直于坐標(biāo)平面向外的勻強(qiáng)磁場，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B．一質(zhì)量為m、電荷量為q的帶正電粒子從y軸正半軸上的M點(diǎn)以速度v_o垂直于y軸射入電場，經(jīng)x軸上的N點(diǎn)與x軸正方向成θ=60°角射入磁場，最后從y軸負(fù)半軸上的p點(diǎn)垂直于y軸射出磁場，不計(jì)粒子重力，求：
（1）求N點(diǎn)速度大小
（2）粒子在磁場中運(yùn)動(dòng)的軌道半徑
（3）粒子從M點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到p點(diǎn)的總時(shí)間．

Answer 1

分析：（1）粒子在坐標(biāo)軸第一象限做類平拋運(yùn)動(dòng)，已知類平拋的初速度v₀，和離開電場時(shí)的速度方向與x軸方向成60°角，根據(jù)類平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律，根據(jù)初速度可以求出粒子進(jìn)入磁場的初速度v；
（2）粒子在磁場中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，洛倫茲力提供向心力，已知速度v和磁感應(yīng)強(qiáng)度B，可得粒子做圓周運(yùn)動(dòng)的軌道半徑R；
（3）根據(jù)粒子在磁場中的運(yùn)動(dòng)軌跡可以求得粒子做類平拋運(yùn)動(dòng)在x軸方向的位移，由于在x軸方向做勻速直線運(yùn)動(dòng)，故類平拋時(shí)間t可求．根據(jù)軌跡的圓心角可由t=

θ

2π

T求出粒子在磁場中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間，即可得到總時(shí)間．

解答：解：（1）因?yàn)榱Ｗ釉陔妶鲋凶鲱惼綊佭\(yùn)動(dòng)，水平方向做勻速直線運(yùn)動(dòng)，豎直方向做初速度為零的勻加速直線運(yùn)動(dòng)，設(shè)粒子過N點(diǎn)時(shí)的速度為v，則有

根據(jù)平拋運(yùn)動(dòng)的速度關(guān)系得：粒子在N點(diǎn)進(jìn)入磁場時(shí)的速度v=

vx

cos60°

=

v0

cos60°

=2v₀
（2）設(shè)粒子在磁場中運(yùn)動(dòng)的軌道半徑為R，則由qvB=m

v2

R

，得R=

mv

qB

=

2mv0

qB

（3）畫出粒子在磁場中運(yùn)動(dòng)軌跡如圖．設(shè)N點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x，根據(jù)幾何知識得到：
  x=Rsinθ=

3 mv0

qB

則粒子在電場中運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t₁=

x

v0

=

3 m

qB

粒子在磁場中運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t₂=

R? 2 3 π

v

=

2πm

3qB

故總時(shí)間為t=t₁+t₂=（

3

+

2π

3

）

m

qB

答：（1）N點(diǎn)速度大小是2v₀．
（2）粒子在磁場中運(yùn)動(dòng)的軌道半徑是

2mv0

qB

．
（3）粒子從M點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到p點(diǎn)的總時(shí)間是（

3

+

2π

3

）

m

qB

．

點(diǎn)評：本題是帶電粒子在組合場中運(yùn)動(dòng)的問題，粒子垂直射入電場，在電場中偏轉(zhuǎn)做類平拋運(yùn)動(dòng)，在磁場中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，要求同學(xué)們能畫出粒子運(yùn)動(dòng)的軌跡，結(jié)合幾何關(guān)系求解，知道半徑公式及周期公式．