Question

（23分）封閉的車廂中有一點(diǎn)光源S，在距光源l處有一半徑為r的圓孔，其圓心為O₁，光源一直在發(fā)光，并通過圓孔射出．車廂以高速v沿固定在水平地面上的x軸正方向勻速運(yùn)動(dòng)，如圖所示．某一時(shí)刻，點(diǎn)光源S恰位于x軸的原點(diǎn)O的正上方，取此時(shí)刻作為車廂參考系與地面參考系的時(shí)間零點(diǎn)．在地面參考系中坐標(biāo)為x_A處放一半徑為R（R >r）的不透光的圓形擋板，板面與圓孔所在的平面都與x軸垂直．板的圓心O₂ 、S、、O₁都等高，起始時(shí)刻經(jīng)圓孔射出的光束會(huì)有部分從擋板周圍射到擋板后面的大屏幕（圖中未畫出）上．由于車廂在運(yùn)動(dòng)，將會(huì)出現(xiàn)擋板將光束完全遮住，即沒有光射到屏上的情況．不考慮光的衍射．試求：

1．車廂參考系中（所測出的）剛出現(xiàn)這種情況的時(shí)刻． 

2．地面參考系中（所測出的）剛出現(xiàn)這種情況的時(shí)刻． 

Answer 1

1．相對于車廂參考系，地面連同擋板以速度v趨向光源S運(yùn)動(dòng)．由S發(fā)出的光經(jīng)小孔射出后成錐形光束，隨離開光源距離的增大，其橫截面積逐漸擴(kuò)大．若距S的距離為L處光束的橫截面正好是半徑為R的圓面，如圖所示，

                 

可得

               (1)

設(shè)想車廂足夠長，并設(shè)想在車廂前端距S為L處放置一個(gè)半徑為R的環(huán)，相對車廂靜止，則光束恰好從環(huán)內(nèi)射出．當(dāng)擋板運(yùn)動(dòng)到與此環(huán)相遇時(shí)，擋板就會(huì)將光束完全遮�。�此時(shí)，在車廂參考系中擋板離光源S的距離就是L．在車廂參考系中，初始時(shí)，根據(jù)相對論，擋板離光源的距離為

       (2)

故出現(xiàn)擋板完全遮住光束的時(shí)刻為

       (3)

    由（1）、（3）式得

       (4)

2．相對于地面參考系，光源與車廂以速度v向擋板運(yùn)動(dòng)．光源與孔之間的距離縮短為

                       (5)

而孔半徑r不變，所以錐形光束的頂角變大，環(huán)到S的距離即擋板完全遮光時(shí)距離應(yīng)為 

         (6)

初始時(shí)，擋板離S的距離為x_A，出現(xiàn)擋板完全遮住光束的時(shí)刻為

         (7)