Question

（2013?合肥一模）如圖甲所示，一端封閉的兩條足夠長平行光滑導(dǎo)軌固定在水平面上，相距L，其中寬為L的abdc區(qū)域無磁場，cd右段區(qū)域存在勻強(qiáng)磁場，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B₀，磁場方向垂直于水平面向上；ab左段區(qū)域存在寬為L的均勻分布但隨時(shí)間線性變化的磁場B，如圖乙所示，磁場方向垂直水平面向下．一質(zhì)量為m的金屬棒ab，在t=0的時(shí)刻從邊界ab開始以某速度向右勻速運(yùn)動(dòng)，經(jīng)時(shí)間

t0

3

運(yùn)動(dòng)到cd處．設(shè)金屬棒在回路中的電阻為R，導(dǎo)軌電阻不計(jì)．

（1）求金屬棒從邊界ab運(yùn)動(dòng)到cd的過程中回路中感應(yīng)電流產(chǎn)生的焦耳熱量Q；
（2）經(jīng)分析可知金屬棒剛進(jìn)入cd右段的磁場時(shí)做減速運(yùn)動(dòng)，求金屬棒在該區(qū)域克服安培力做的功W．

Answer 1

分析：（1）金屬棒從邊界ab運(yùn)動(dòng)到cd的過程中，穿過回路的磁通量均勻增加，產(chǎn)生恒定的感應(yīng)電流，根據(jù)法拉第電磁感應(yīng)定律、歐姆定律和焦耳定律求解焦耳熱．
（2）金屬棒剛進(jìn)入磁場時(shí)的速度為v=

L

1 3 t0

，切割磁感線產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢為E=B₀Lv，金屬棒剛進(jìn)入cd右段的磁場時(shí)做減速運(yùn)動(dòng)，可判斷出感生電動(dòng)勢與動(dòng)生電動(dòng)勢的大小，判斷出金屬棒的運(yùn)動(dòng)情況，金屬棒最終做勻速運(yùn)動(dòng)，速度不再變化，求出勻速運(yùn)動(dòng)的速度，再根據(jù)功能關(guān)系求出金屬棒在該區(qū)域克服安培力做的功W．

解答：解：（1）因磁場變化在回路中產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢為：
E₁=

△Φ

△t

=L²

△B

△t

=

B0L2

t0

．
感應(yīng)電流為：I1=

E1

R

=

B0L2

Rt0

金屬棒從邊界ab運(yùn)動(dòng)到cd的過程中產(chǎn)生的焦耳熱為：
Q=

I

2 1

Rt=(

B0L2

Rt0

)2?

t0

3

=

B 2 0 L4

3Rt0

（2）金屬棒剛進(jìn)入磁場時(shí)的速度大小為：v₀=

L

1 3 t0

=

3L

t0

．
金屬棒切割磁感線產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢為：E₂=B₀Lv
因E₁與E₂在回路中方向相反，因金屬棒剛進(jìn)入cd右段的磁場時(shí)做減速運(yùn)動(dòng)，說明E₂＞E₁，回路中的總電動(dòng)勢為：
E=E₂-E₁=B₀Lv-

B0L2

t0

隨著棒的速度減小，總電動(dòng)勢E減小，當(dāng)E=0后，回路中無感應(yīng)電流，棒做勻速運(yùn)動(dòng)，動(dòng)能不再變化，則最終速度設(shè)為，由B₀Lv-

B0L2

t0

=0，得：v=

L

t0

金屬棒在該區(qū)域克服安培力做的功W等于動(dòng)能的減少，即：
W=

1

2

m

v

2 0

-

1

2

mv2=

4mL2

t 2 0

答：（1）金屬棒從邊界ab運(yùn)動(dòng)到cd的過程中回路中感應(yīng)電流產(chǎn)生的焦耳熱量Q為

B 2 0 L4

3Rt0

；
（2）經(jīng)分析可知金屬棒剛進(jìn)入cd右段的磁場時(shí)做減速運(yùn)動(dòng)，金屬棒在該區(qū)域克服安培力做的功W是

4mL2

t 2 0

．

點(diǎn)評(píng)：當(dāng)回路中磁通量均勻變化時(shí)，回路中產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢和感應(yīng)電流均恒定，由法拉第電磁感應(yīng)定律研究感應(yīng)電動(dòng)勢是關(guān)鍵，第3問中，既感生電動(dòng)勢，又動(dòng)生電動(dòng)勢，兩個(gè)電動(dòng)勢方向相反，要進(jìn)行討論才能確定總電動(dòng)勢，分析棒的運(yùn)動(dòng)情況是關(guān)鍵．