Question

如圖所示，半徑為L₁=2 m的金屬圓環(huán)內(nèi)上、下兩部分各有垂直圓環(huán)平面的有界勻強(qiáng)磁場，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小均為B₁=10/π T，長度也為L₁、電阻為R的金屬桿ab，一端處于圓環(huán)中心，另一端恰好搭接在金屬環(huán)上，繞著a端做逆時(shí)針方向的勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，角速度為ω=π/10 rad/s。通過導(dǎo)線將金屬桿的a端和金屬環(huán)連接到圖示的電路中（連接a端的導(dǎo)線與圓環(huán)不接觸，圖中的定值電阻R₁=R，滑片P位于R₂的正中央，R₂=4R），圖中的平行板長度為L₂=2 m，寬度為d=2 m。當(dāng)金屬桿運(yùn)動(dòng)到圖示位置時(shí)，在平行板左邊緣中央處剛好有一帶電粒子以初速度v₀=0.5 m/s向右運(yùn)動(dòng)，并恰好能從平行板的右邊緣飛出，之后進(jìn)入到有界勻強(qiáng)磁場中，其磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B₂=2 T，左邊界為圖中的虛線位置，右側(cè)及上下范圍均足夠大。（忽略金屬桿與圓環(huán)的接觸電阻、圓環(huán)電阻及導(dǎo)線電阻，忽略電容器的充放電時(shí)間，忽略帶電粒子在磁場中運(yùn)動(dòng)時(shí)的電磁輻射等影響，不計(jì)平行金屬板兩端的邊緣效應(yīng)及帶電粒子的重力和空氣阻力。提示：導(dǎo)體棒以某一端點(diǎn)為圓心勻速轉(zhuǎn)動(dòng)切割勻強(qiáng)磁場時(shí)產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢為E=BL²ω/2）試分析下列問題：
（1）從圖示位置開始金屬桿轉(zhuǎn)動(dòng)半周期的時(shí)間內(nèi)，兩極板間的電勢差U_MN；
（2）帶電粒子飛出電場時(shí)的速度方向與初速度方向的夾角θ；
（3）帶電粒子在電磁場中運(yùn)動(dòng)的總時(shí)間t_總。

Answer 1

解：（1）由旋轉(zhuǎn)切割公式得E=B₁L₁²ω/2=2 V
由電路的連接特點(diǎn)知E=I·4R，U₀=I·2R=E/2=1 V
T₁=2π/ω=20 s
由右手定則知
在0~T₁/2時(shí)間內(nèi) 金屬桿ab中的電流方向?yàn)閎→a，則φ_a > φ_b
在0~T₁/2時(shí)間內(nèi) 金屬桿ab中的電流方向?yàn)閍→b，則φ_a < φ_b
則在0~T₁/2時(shí)間內(nèi)φ_M < φ_N
U_MN=- U₀=- 1 V
（2）粒子在平行板電容器內(nèi)做類平拋運(yùn)動(dòng)，在0~T₁/2時(shí)間內(nèi)
水平方向L₂=v₀·t₁
豎直方向，，，
則q/m=0.25 C/kg，v_y=0.5 m/s，
tanθ=v_y/v₀=1
所以θ=45°
（3）粒子在勻強(qiáng)磁場中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)
由，得
即，
由幾何關(guān)系及粒子在磁場中運(yùn)動(dòng)的對稱性可知：粒子恰好在磁場中做了3/4圓周運(yùn)動(dòng)，并且粒子剛好能從平行板電容器的另一極板重新飛回到電場中
則磁場中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t₂=3T₂/4=3π s
由于t₁ + t₂=4 + 3π≈13.42 s，大于T₁/2且小于T₁，則此時(shí)飛回電場時(shí)，電場方向與開始時(shí)相反，并且此時(shí)的速度與飛出電場時(shí)的速度等大、與水平方向的夾角大小相同，方向?yàn)閮A斜左上45°，則運(yùn)動(dòng)具有對稱性，t₃=t₁=4 s
綜上帶電粒子在電磁場中總的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t_總=t₁ + t₂ + t₃=8 + 3π≈17.42 s