Question

【題目】如圖所示，傾角θ＝37°的光滑且足夠長的斜面固定在水平面上，在斜面頂端固定一個(gè)半徑和質(zhì)量不計(jì)的光滑定滑輪D，質(zhì)量均為m＝1 kg的物體A和B用一勁度系數(shù)k＝240 N/m的輕彈簧連接，物體B被位于斜面底端且垂直于斜面的擋板P擋住。用一不可伸長的輕繩使物體A跨過定滑輪與質(zhì)量為M的小環(huán)C連接，小環(huán)C穿過豎直固定的光滑均勻細(xì)桿，當(dāng)整個(gè)系統(tǒng)靜止時(shí)，環(huán)C位于Q處，繩與細(xì)桿的夾角 α＝53°，且物體B對(duì)擋板P的壓力恰好為零。圖中SD水平且長度為d＝0.2 m，位置R與位置Q關(guān)于位置S對(duì)稱，輕彈簧和定滑輪右側(cè)的繩均與斜面平行。現(xiàn)讓環(huán)C從位置R由靜止釋放，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，g取10 m/s2.求

(1)小環(huán)C的質(zhì)量M；

(2)小環(huán)C運(yùn)動(dòng)到位置Q的速率v。

(3)小環(huán)C通過位置S時(shí)的動(dòng)能Ek及環(huán)從位置R運(yùn)動(dòng)到位置S的過程中輕繩對(duì)環(huán)做的功WT；

Answer 1

【答案】(1)0.72kg；(2)2m/s；(3)1.38J，0.3J。

【解析】

(1)先以AB組成的整體為研究對(duì)象，AB系統(tǒng)受到重力、支持力和繩子的拉力處于平衡狀態(tài)，則繩子的拉力為

以C為研究對(duì)象，則C受到重力、繩子的拉力和桿的彈力處于平衡狀態(tài)，如圖，則

代入數(shù)據(jù)得

(2)環(huán)從位置R運(yùn)動(dòng)到位置Q的過程中，對(duì)于小環(huán)C、彈簧和A組成的系統(tǒng)機(jī)械能守恒

兩式聯(lián)立可得

(3)由題意，開始時(shí)B恰好對(duì)擋板沒有壓力，所以B受到重力、支持力和彈簧的拉力，彈簧處于伸長狀態(tài)；產(chǎn)生B沿斜面方向的受力

彈簧的伸長量

當(dāng)小環(huán)C通過位置S時(shí)A下降的距離為

此時(shí)彈簧的壓縮量

由速度分解可知此時(shí)A的速度為零，所以小環(huán)C從R運(yùn)動(dòng)到S的過程中，初末態(tài)的彈性勢(shì)能相等，對(duì)于小環(huán)C、彈簧和A組成的系統(tǒng)機(jī)械能守恒有

解得

環(huán)從位置R運(yùn)動(dòng)到位置S的過程中，由動(dòng)能定理可知

解得