Question

如圖所示，光滑圓柱半徑為R，被固定在水平平臺(tái)上，用輕繩跨過圓柱體與兩小球m₁、m₂相連（m₁、m₂分別為它們的質(zhì)量），開始時(shí)讓m₁放在平臺(tái)上，兩邊繩繃直，兩球從靜止開始m₁上升，m₂下降．當(dāng)m₁上升到圓柱的最高點(diǎn)時(shí)，球m₁對軌道的壓力0.2m₁g，求：
（1）小球m₁上升到圓柱的最高點(diǎn)時(shí)，速度多大？（用g、R表示）
（2）兩球從靜止開始至m₁上升到圓柱的最高點(diǎn)，系統(tǒng)減少的勢能為多少？
（3）m₂應(yīng)為m₁的多少倍？

Answer 1

分析：（1）小球m₁上升到圓柱的最高點(diǎn)時(shí)，對軌道的壓力0.2m₁g，重力和支持力的合力提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律列式求解速度；
（2）兩球從靜止開始至m₁上升到圓柱的最高點(diǎn)過程，根據(jù)E_p=mgh求解兩個(gè)球重力勢能的減小量；
（3）兩個(gè)球組成的系統(tǒng)機(jī)械能守恒，根據(jù)守恒定律列式求解兩球的質(zhì)量關(guān)系．

解答：解：（1）當(dāng)m₁上升到圓柱的最高點(diǎn)時(shí)，物體受重力和支持力的合力提供向心力，支持力與壓力是相互作用力，等大、反向、共線，故根據(jù)牛頓第二定律有：
F_向=m₁g-0.2m₁g=m1

v2

R

解得：v=

0.8gR

（2）兩球從靜止開始至m₁上升到圓柱的最高點(diǎn)，m₁與m₂組成的系統(tǒng)減少的勢能為：
△E_P減=m₂g（R+

2πR

4

）-m₁g?2R 
（3）根據(jù)系統(tǒng)機(jī)械能守恒，有：
△E_P減=△E_k增
故有：m₂g（R+

2πR

4

）-m₁g2R=

1

2

m1v2+

1

2

m2v2
解得：m₂=

24

6+5π

m₁
答：（1）小球m₁上升到圓柱的最高點(diǎn)時(shí)，速度為

0.8gR

；
（2）兩球從靜止開始至m₁上升到圓柱的最高點(diǎn)，系統(tǒng)減少的勢能為m₂g（R+

2πR

4

）-m₁g2R；
（3）m₂應(yīng)為m₁的

24

6+5π

倍．

點(diǎn)評：本題第一問關(guān)鍵明確重力和支持力的合力提供向心力；第二問和第三問關(guān)鍵明確兩個(gè)小球的系統(tǒng)機(jī)械能守恒，根據(jù)機(jī)械能守恒定律列式求解即可．