Question

用密度為d、電阻率為ρ、橫截面積為A的薄金屬條制成邊長為L的閉合正方形框abb?a?．如圖所示，金屬方框水平放在磁極的狹縫間，方框平面與磁場方向平行．設(shè)勻強(qiáng)磁場僅存在于相對(duì)磁極之間，其他地方的磁場忽略不計(jì)．可認(rèn)為方框的aa?邊和bb?邊都處在磁極間，極間磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B．方框從靜止開始釋放，其平面在下落過程中保持水平（不計(jì)空氣阻力設(shè)磁場區(qū)域在豎直方向足夠長）．
（1）當(dāng)方框下落的加速度為

g

2

時(shí)，求方框的瞬時(shí)速度v₁
（2）方框下落的最大電功率多大？
（3）已知方框下落的時(shí)間為t時(shí)，下落的高度為h，其速度為v_t（v_t＜v_m）．若在同一時(shí)間t內(nèi)，方框內(nèi)產(chǎn)生的熱與一恒定電流I₀在該框內(nèi)產(chǎn)生的熱相同，求恒定電流I₀的表達(dá)式．

Answer 1

分析：（1）方框下落加速度為

g

2

時(shí)，根據(jù)牛頓第二定律與運(yùn)動(dòng)學(xué)公式，即可求解．
（2）分析方框運(yùn)動(dòng)的過程，知道當(dāng)方框勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)速度最大時(shí)感應(yīng)電流大小，再根據(jù)焦耳定律求解．
（3）根據(jù)能量守恒定律表示出時(shí)間t內(nèi)方框內(nèi)產(chǎn)生的熱量表達(dá)式，再求出恒定電流I₀的表達(dá)式．

解答：解：（1）方框質(zhì)量    m=4LAd
方框電阻            R=ρ

4L

A

方框下落速度為v時(shí)，產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢  E=B?2Lv
感應(yīng)電流              I=

E

R

=

BAv

2ρ

方框下落過程，受到重力G及安培力F，
G=mg=4LAdg，方向豎直向下
安培力F=BI?2L=

B2AL

ρ

v，方向豎直向上
當(dāng)方框下落加速度為

g

2

時(shí)，根據(jù)牛頓第二定律，方框達(dá)到速度則為v，
則mg-F=ma
因此v=

2dgρ

B2

    
（2）當(dāng)方框勻速下落時(shí)，則有G=F，
即

B2AL

ρ

vm=4LAd
方框下落的最大速度    v_m=

4ρdg

B2

，
則方框的發(fā)熱功率   P=I²R=Gv_m=

16ρALd2g2

B2

（3）根據(jù)能量守恒定律，方框重力勢能轉(zhuǎn)化動(dòng)能和電流產(chǎn)生的熱量，所以有
 mgh=

1

2

m

v

2 t

+

I

2 0

Rt
I₀=

m Rt (gh- 1 2 v 2 t )

解得：恒定電流I₀的表達(dá)式     I₀=A

d ρt (gh- v 2 t 2 )

答：（1）當(dāng)方框下落的加速度為

g

2

時(shí)，則方框的瞬時(shí)速度v=

2dgρ

B2

；
 （2）方框下落的最大電功率P=

16ρALd2g2

B2

；
（3）恒定電流I₀的表達(dá)式I0=A

d ρt (gh- 1 2 v 2 t )

．

點(diǎn)評(píng)：解答這類問題的關(guān)鍵是通過受力分析，正確分析安培力的變化情況，找出最大速度的運(yùn)動(dòng)特征．
電磁感應(yīng)與電路結(jié)合的題目，感應(yīng)電動(dòng)勢是中間橋梁．