Question

一組航天員乘坐飛船，前往修理位于離地球表面6.0×10⁵m的圓形軌道上的哈勃太空望遠(yuǎn)鏡H．機(jī)組人員使飛船S進(jìn)入與H相同的軌道并關(guān)閉推動(dòng)火箭，如圖所示．設(shè)F為引力，M為地球質(zhì)量．已知地球半徑R=6.4×10⁶m．
（1）在飛船內(nèi)，一質(zhì)量為70kg的航天員的視重是多少？
（2）計(jì)算飛船在軌道上的速率．
（3）證明飛船總機(jī)械能跟-

1

r

成正比，r為它的軌道半徑．（注：若力F與位移r之間有如下的關(guān)系：F=

K

r2

，K為常數(shù)，則當(dāng)r由無(wú)窮遠(yuǎn)處變?yōu)榱�，F(xiàn)做功的大小可用以下規(guī)律進(jìn)行計(jì)算：W=

K

r

，設(shè)無(wú)窮遠(yuǎn)處的勢(shì)能為零．）

Answer 1

分析：（1）航天飛機(jī)繞地球做圓周運(yùn)動(dòng)，處于完全失重狀態(tài)．
（2）根據(jù)萬(wàn)有引力提供向心力求解．
（3）飛船在只有引力做功的情況下，根據(jù)引力做功與引力勢(shì)能變化的關(guān)系分析．

解答：解：（1）飛船內(nèi)的物體處于完全失重狀態(tài)，故航天員的視重為0．
（2）飛船在軌道半徑r上做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，萬(wàn)有引力提供圓周運(yùn)動(dòng)的向心力：
G?

m?M

r2

=m

v2

r

?v=

GM r

在地球表面處：G?

m?M

R2

=mg?GM=gR2
∴v=

gR2 R+h

=

10×(6.4×106)2 6.4×106+6.0×105

=7.65m/s×10³=7.65km/s
（3）因?yàn)樵谲壍腊霃綖閞上的穿梭機(jī)所受的引力為：F=G?

mM

r2

所以滿足力F與位移r之間有如下的關(guān)系：F=

K

r2

，K=GmM=常數(shù)．
則當(dāng)r由無(wú)窮遠(yuǎn)處變?yōu)閞時(shí)，F(xiàn)做功的大小為：W=

K

r

=

GmM

r

=0-ε_r?εr=-

GmM

r

（設(shè)軌道半徑為r處的勢(shì)能為ε_r）
所以穿梭機(jī)在軌道半徑為r處的總機(jī)械能：E=

1

2

mv2-

GmM

r

=

GmM

2r

-

GmM

r

=-

GmM

2r

即穿梭機(jī)總機(jī)械能跟-

1

r

成正比．

點(diǎn)評(píng)：本題關(guān)鍵抓住萬(wàn)有引力提供向心力，先列式求解出線速度、角速度、周期和加速度的表達(dá)式，再進(jìn)行討論