Question

如圖所示的凹形場地，兩端是半徑為L的光滑

1

4

圓弧面，中間是長為4L的粗糙水平面質(zhì)量為3m的乙開始停住水平面的中點O處，質(zhì)量為m的甲從光滑圓弧面的A處無初速度地滑下，進入水平面后與乙碰撞，且碰后以碰前一半的速度反彈，已知甲、乙與水平而的動摩擦因數(shù)分別為μ₁、μ₂，且μ₁=2μ₂．甲、乙的體積大小忽略不計，求：
（1）甲與乙碰撞前的速度；
（2）由于碰撞而損失的機械能；
（3）甲、乙在O處發(fā)生碰撞后．剛好不再發(fā)生碰撞，甲、乙停在距B點多遠處．

Answer 1

分析：（1）甲從下滑到與乙碰撞前，重力和摩擦力做功，根據(jù)動能定理求解甲與乙碰撞前的速度；
（2）甲乙碰撞過程，系統(tǒng)的動量守恒，根據(jù)動量守恒定律求出碰撞后乙的速度，根據(jù)能量守恒求解由于碰撞而損失的機械能；
（3）根據(jù)牛頓第二定律和運動學(xué)公式求出甲乙兩物體碰撞后在水平地面上通過的路程之比．由題，甲、乙剛好不再發(fā)生第二次碰撞，所以甲、乙在同一地點停下，有以下兩種情況：第一種情況：甲返回時未到達B點時就已經(jīng)停下，分析能否發(fā)生；第二種情況：甲、乙分別通過B、C沖上圓弧面后，返回水平面后相向運動停在同一地點，所以有
s₁+s₂=8L．求出s₁或s₂，即可求出甲、乙停在距B點距離．

解答：解：（1）設(shè)甲到達O處與乙碰撞前的速度為v_甲，由動能定理得：
  m_甲gL-μ₁m_甲g?2L=

1

2

m甲

v

2 甲

解得：v甲=

2gL(1-2μ1)

（2）設(shè)碰撞后甲、乙的速度分別為v_甲′、v_乙′，由動量守恒得：
   m_甲v_甲=m_甲v_甲′+m_乙v_乙′，
解得：v_乙′=

1

2

2gL(1-2μ1)

根據(jù)能量轉(zhuǎn)化和守恒定律得，損失的機械能為：△E=

1

2

m甲

v

2 甲

-

1

2

m甲

v

′2 甲

-

1

2

m乙

v

′2 乙

解得△E=0
（3）由于μ₁=2μ₂，所以甲、乙在水平面上運動的加速度滿足：a_甲=2a_乙．
設(shè)甲在水平地面上通過的路程為s₁，乙在水平地面上通過的路程為s₂，則有：
   

v

′2 甲

=2a_甲s₁，
   

v

′2 乙

=2a_乙s₂，
得：

s1

s2

=

1

2

  ①
由于甲、乙剛好不再發(fā)生第二次碰撞，所以甲、乙在同一地點停下，有以下兩種情況：
  第一種情況：甲返回時未到達B點時就已經(jīng)停下，此時有：s₁＜2L，而乙停在甲所在位置時，乙通過的路程為：s₂=2L+2L+s₁=4L+s₁．
因為s₁與s₂不能滿足①，因此這種情況不能發(fā)生．
第二種情況：甲、乙分別通過B、C沖上圓弧面后，返回水平面后相向運動停在同一地點，所以有
   s₁+s₂=8L   ②
①②式得：s1=

8L

3

或s2=

16L

3

即甲、乙停在距B點距離為：△L=s₁-2L=

2

3

L
答：
（1）甲與乙碰撞前的速度是

2gL(1-2μ1)

；
（2）由于碰撞而損失的機械能為零．
（3）甲、乙在O處發(fā)生碰撞后．剛好不再發(fā)生碰撞，甲、乙停在距B點

2

3

L．

點評：本題前2問是常規(guī)問題，根據(jù)動能定理求速度、根據(jù)碰撞的基本規(guī)律：動量守恒定律求解碰撞乙的速度，得到動能的損失．第3問考查分析物體運動過程的能力．