Question

圖示為一利用傳輸帶輸送貨物的裝置．物塊（視為質點）自平臺經斜面滑到一以恒定速度V運動的水平長傳輸帶上，再由傳輸帶輸送到遠處目的地．已知斜面高h=2.0m，水平邊長L=4.0m，傳輸帶寬d=2.0m，傳輸帶的運動速度V=3.0m/s，物塊與斜面間的摩擦系數μ₁=0.30，物塊自斜面頂端下滑的初速度為零，沿斜面下滑的速度方向與傳輸帶運動方向垂直．設斜面與傳輸帶接觸處為非常小的一段圓弧，使得物塊通過斜面與傳輸帶交界處時其速度的大小不變．重力加速度g=10m/s²．
（1）為使物塊滑到傳輸帶上后不會從傳輸帶邊緣脫離，物塊與傳輸帶之間的摩擦系數μ₂至少為多少？
（2）假設傳輸帶由一帶有穩(wěn)速裝置的直流電機驅動，與電機連接的電源的電動勢E=200V，內阻可忽略；電機的內阻R=10Ω，傳輸帶空載（無輸送貨物）時工作電流I₀=2.0A，求當貨物的平均流量（單位時間里輸送的貨物質量）穩(wěn)定在η=

640

9

kg/s時，電機的平均工作電流等于多少？假設除了貨物與傳輸帶之間的摩擦損耗和電機的內阻熱損耗外，其它部分的能量損耗與傳輸帶上的貨物量無關．

Answer 1

（1）令m表示物塊的質量，物塊在斜面上滑動的加速度為：
a=

mgsinθ-μ1mgcosθ

m

=g(sinθ-μ1cosθ)
根據勻變速直線運動的速度位移關系，物塊在斜面上滑動距離為x=

h

sinθ

，所以有：
v0=

2ax

=

2g(sinθ-μ1cosθ) h sinθ

=

2gh(1-μ1costθ)

由題意知，cotθ=

L

h

所以所以物塊滑到底端的速度為：
v0=

2×10×2(1-0.3× 4 2 )

m/s=4m/s
以傳輸帶為參照系，物塊滑到傳輸帶的初速度大小為：
v′0=

v 20 +V2

=5.0m/s

運動方向與傳輸帶邊緣的夾角α滿足tanα=

v0

v

=

4

3

，sinα=

v0

v0′

=

4

5

物塊在傳輸帶上作減速運動，其加速度大小為：a′=

μ2mg

m

=μ2g
當物塊與傳輸帶相對靜止時在傳輸帶上運動的距離為：s′=

v ′ 20

2a′

=

v ′ 20

2μ2g

物塊不超過傳輸帶寬的邊緣對應的最小摩擦系數μ₂應滿足：s′sinα=

v ′ 20 sinα

2μ2g

=d
因此可得：μ2=

v0′2sinα

2gd

=

52? 4 5

2×10×2

=0.5
（2）由題意知物體對傳輸帶的摩擦力大小為：
F=μ2?

ηg

μ2g

v0′=ηv0′
方向與v₀′的方向相同．從地面參考系來看，傳輸帶速度為v，單位時間內物塊對傳輸帶所做的功
W=-Fvcosα
因此負載所引起的附加功率為：△P=-W=ηv2=

640

9

×32W=640W
考慮到無負載時電機的輸出功率為：P0=I0E-

I

20

R=2×200-22×10W=360W
所以有負載時電機的輸出功率為：P=P₀+△P=1000W
設有負載時的工作電流為I，則有：P=IE-I²R
代入P和E、R數值可解得：I=10A．
答：（1）滿足要求的μ₂至少為0.5；
（2）電機的平均工作電流為10A．