Question

如圖所示，水平放置的平行金屬板A和D間的距離為d，金屬板長(zhǎng)為L=

3

d，兩板間所加電壓為U，D板的右側(cè)邊緣恰好是傾斜擋板NM上的一個(gè)小孔K，NM與水平擋板NP成60°角，且擋板足夠長(zhǎng)，K與N間的距離為KN=a．現(xiàn)有一質(zhì)量為m、電荷量為q的帶正電的粒子，從A、D的中點(diǎn)O沿平行于金屬板方向OO'以某一速度射入，不計(jì)粒子的重力．該粒子穿過(guò)金屬板后恰好穿過(guò)小孔K：
（1）求該粒子從O點(diǎn)射入時(shí)的速度大小v₀；
（2）若兩檔板所夾的整個(gè)區(qū)域存在一垂直紙面向外的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，粒子經(jīng)過(guò)磁場(chǎng)偏轉(zhuǎn)后能垂直打在水平擋板NP上，求該磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小B₀；
（3）若磁場(chǎng)方向變?yōu)榇怪奔埫嫦蚶�，且只存在于兩檔板所夾間的某一區(qū)域內(nèi)，同樣使該粒子經(jīng)過(guò)磁場(chǎng)偏轉(zhuǎn)后能垂直打在水平擋板NP上（之前與擋板沒(méi)有碰撞），求滿(mǎn)足條件的磁感應(yīng)強(qiáng)度的最小值B_min．

Answer 1

分析：帶電粒子做類(lèi)平拋運(yùn)動(dòng)，根據(jù)平拋運(yùn)動(dòng)的基本公式即可求解；
根據(jù)平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律，可求得粒子到K點(diǎn)的速度，結(jié)合圓周運(yùn)動(dòng)規(guī)律，可求得磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小B₀
粒子從K點(diǎn)入射后做勻速直線運(yùn)動(dòng)從D點(diǎn)開(kāi)始進(jìn)入磁場(chǎng)，粒子在進(jìn)入磁場(chǎng)后，根據(jù)左手定則，所受的洛倫茲力斜向上，要使粒子能垂直打到水平擋板NP，則粒子需偏轉(zhuǎn)300°后從E射出，做勻速直線運(yùn)動(dòng)垂直打到NP．粒子作圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，洛倫茲力提供向心力，要使B最小，則要半徑r最大，臨界情況是圓周運(yùn)動(dòng)的軌跡恰好跟兩擋板相切，結(jié)合幾何關(guān)系即可求解．

解答：解：（1）粒子在電場(chǎng)中做類(lèi)平拋運(yùn)動(dòng)：L=v₀t

d

2

=

1

2

at2
a=

qU

dm

代入：L=

3

d
可得：v₀=

3qU m

（2）射入的粒子在進(jìn)入K時(shí)豎直方向的分速度為v_y
水平方向：L=

3

d=v0t
豎直方向：

d

2

=

vy

2

t
可得：tanθ=

vy

v0

=

3

3

即：θ=30°，
粒子到達(dá)K點(diǎn)時(shí)速度為：v=2

qU m

由幾何關(guān)系可得：粒子圓周運(yùn)動(dòng)半徑為r=a
且滿(mǎn)足：qB0v=

mv2

r

可得：B₀=

2

a

Um q

（3）磁場(chǎng)反向，如圖，粒子從K點(diǎn)入射后做勻速直線運(yùn)動(dòng)從D點(diǎn)開(kāi)始進(jìn)入磁場(chǎng)，根據(jù)對(duì)稱(chēng)性，需偏轉(zhuǎn)300°后從E點(diǎn)射出，做勻速直線運(yùn)動(dòng)垂直打到NP擋板上．

根據(jù)：Bqv=m

v2

r

可得：B=

mv

qr

要使B最小，則需使半徑r最大，臨界情況是軌跡剛好和擋板相切
由幾何關(guān)系可得：

3

r=a+r
可得：r=

a

3 -1

  
解得：B_min=

2( 3 -1)

a

Um q

   
答：（1）該粒子從O點(diǎn)射入時(shí)的速度大小為

3qU m

；
（2）該磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小為

2

a

Um q

；
（3）滿(mǎn)足條件的磁感應(yīng)強(qiáng)度的最小值為

2( 3 -1)

a

Um q

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了平拋運(yùn)動(dòng)、圓周運(yùn)動(dòng)的基本公式的應(yīng)用，要使B最小，則半徑要最大，臨界情況是圓周運(yùn)動(dòng)的軌跡恰好跟兩擋板相切，利用幾何關(guān)系求解，難度偏大．