Question

如圖所示為一種獲得高能粒子的裝置．環(huán)形區(qū)域內(nèi)存在垂直紙面向外，大小可調(diào)的勻強(qiáng)磁場(chǎng)．M、N為兩塊中心開有小孔的極板，每當(dāng)帶電粒子經(jīng)過M、N板時(shí)，都會(huì)被加速，加速電壓均為U；每當(dāng)粒子飛離電場(chǎng)后，M、N板間的電勢(shì)差立即變?yōu)榱悖�粒子在M、N間的電場(chǎng)中一次次被加速，動(dòng)能不斷增大，而繞行半徑R不變（M、N兩極板間的距離遠(yuǎn)小于R）．當(dāng)t=0時(shí)，質(zhì)量為m，電荷量為+q的粒子靜止在M板小孔處；M、N間間距很小，粒子在M、N間的電場(chǎng)中的加速時(shí)間可忽略不計(jì)；
（1）求粒子繞行n圈回到M板時(shí)的動(dòng)能E_n；
（2）為使粒子始終保持在圓軌道上運(yùn)動(dòng)，磁場(chǎng)必須周期性遞增；求粒子繞行第n圈時(shí)磁感應(yīng)強(qiáng)度B的大��；
（3）求粒子繞行n圈所需總時(shí)間t_n．

Answer 1

（1）粒子繞行一圈動(dòng)能的增量為qU，繞行n圈所獲得的總動(dòng)能：E_n=nqU
（2）因?yàn)?span mathtag="math" >nqU=

1

2

m

v

2n

       
qBnvn=

m v 2n

R

                    
得Bn=

1

R

2nmU q

        
（3）粒子做半徑為R的勻速圓周運(yùn)動(dòng)，每一圈所用時(shí)間為

2πR

v

，
由于第一圈速度不同，所以每一圈所需時(shí)間也不同
第一圈：qU=

1

2

m

v

21

                    v1=

2qU m

第二圈：2qU=

1

2

m

v

22

                  v2=

2?2qU m

…
第n圈的速度                         vn=

n?2qU m

         
故繞行n圈所需總時(shí)間tn=t1+t2+t3+…+tn=

2πR

v1

+

2πR

v2

+…+

2πR

vn

=2πR

m 2qU

(1+

1

2

+

1

3

…+

1

n

)
答：（1）求粒子繞行n圈回到M板時(shí)的動(dòng)能nqU；
（2）粒子繞行第n圈時(shí)磁感應(yīng)強(qiáng)度B的大小Bn=

1

R

2nmU q

；
（3）求粒子繞行n圈所需總時(shí)間tn=2πR

m 2qU

(1+

1

2

+

1

3

…+

1

n

)．