Question

如圖所示，一不可伸長(zhǎng)的輕質(zhì)細(xì)繩，繩長(zhǎng)為L(zhǎng)一端固定于O點(diǎn)，另一端系一質(zhì)量為m的小球，小球繞O點(diǎn)在豎直平面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)（不計(jì)空氣助力），小球通過(guò)最低點(diǎn)時(shí)的速度為v．
（1）求小球通過(guò)最低點(diǎn)時(shí)，繩對(duì)小球拉力F的大�。�
（2）若小球運(yùn)動(dòng)到最低點(diǎn)或最高點(diǎn)時(shí)，繩突然斷開(kāi)，兩種情況下小球從拋出到落地水平位移大小相等，求O點(diǎn)距地面的高度h；
（3）在（2）中所述情況下試證明O點(diǎn)距離地面高度h與繩長(zhǎng)l之間應(yīng)滿(mǎn)足
h≥

3

2

l．

Answer 1

分析：（1）小球通過(guò)最低點(diǎn)時(shí)，繩對(duì)小球拉力F和重力的合力提供向心力，由牛頓第二定律求拉力F；
（2）若小球運(yùn)動(dòng)到圓心最低點(diǎn)時(shí)，繩突然斷開(kāi)，小球落地前將做平拋運(yùn)動(dòng)，根據(jù)機(jī)械能守恒定律求落地時(shí)小球速度．
（3）小球運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)時(shí)向心力最小值為mg，根據(jù)牛頓第二定律求得小球到達(dá)最高點(diǎn)的最小速度，從最高點(diǎn)到最低點(diǎn)，運(yùn)用機(jī)械能守恒列式即可證明．

解答：解：（1）根據(jù)向心力公式 F-mg=m

v2

L

 有：F=mg+m

v2

L

；
（2）小球運(yùn)動(dòng)到最低點(diǎn)，繩突然斷開(kāi)后小球做平拋運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t，
則 h-L=

1

2

gt2，
   x=vt
設(shè)運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)速度為v′，由機(jī)械能守恒得：
  2mgL+

1

2

mv′2=

1

2

mv2
小球運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)繩斷開(kāi)后小球做平拋運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t′，
則 h+L=

1

2

gt′2，
  x′=v′t′
又 x=x′
聯(lián)立上述各式解得：h=

v2

2g

-L
（3）小球運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)時(shí)向心力最小值為mg，則有：mg≤m

v′2

L

所以 v′≥

gL

那么由機(jī)械能守恒定律：
 2mgL+

1

2

mv′2=

1

2

mv2
小球運(yùn)動(dòng)到最低點(diǎn)時(shí)速度有 v≥

5gL

故由（2）問(wèn)結(jié)果 h=

v2

2g

-L≥

5gL

2g

-L=

3

2

L，即h≥

3

2

L．得證．
答：（1）小球通過(guò)最低點(diǎn)時(shí)，繩對(duì)小球拉力F的大小為mg+m

v2

L

；（2）O點(diǎn)距地面的高度h為

v2

2g

-L；（3）證明O點(diǎn)距離地面高度h與繩長(zhǎng)l之間應(yīng)滿(mǎn)足h≥

3

2

L見(jiàn)上．

點(diǎn)評(píng)：本題是圓周運(yùn)動(dòng)與平拋運(yùn)動(dòng)的綜合，運(yùn)用牛頓運(yùn)動(dòng)定律和機(jī)械能守恒結(jié)合進(jìn)行研究，對(duì)于平拋運(yùn)動(dòng)，也可以運(yùn)用分解的方法求小球落地速度．