Question

如圖所示，兩個(gè)固定的均勻帶電球面，所帶電荷量分別為+Q和-Q （Q＞0），半徑分別為R和

R

2

，小球面與大球面內(nèi)切于C點(diǎn)，兩球面球心O和O’的連線(xiàn)MN沿豎直方在MN與兩球面的交點(diǎn)B、0和C 處各開(kāi)有足夠小的孔因小孔損失的電荷量忽略不計(jì)，有一質(zhì)量為m，帶電荷為q（q＞0的質(zhì)點(diǎn)自MN線(xiàn)上離B點(diǎn)距離為R的A點(diǎn)豎直上拋．設(shè)靜電力常量為k，重力加度為g．
（1）要使質(zhì)點(diǎn)從 A 點(diǎn)上拋后能夠到達(dá)B點(diǎn)，所需的最小初動(dòng)能為多少？
（2）要使質(zhì)點(diǎn)從A點(diǎn)上拋后能夠到達(dá)O點(diǎn)，在不同條件下所需的最小初動(dòng)能各為多少？

Answer 1

分析：（1）質(zhì)點(diǎn)在A→B應(yīng)作減速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)初動(dòng)能最小時(shí)，到達(dá)B點(diǎn)的速度為零，根據(jù)能量守恒定律求出所需的最小初動(dòng)能．
（2）質(zhì)點(diǎn)在B→0的運(yùn)動(dòng)有三種可能情況，①質(zhì)點(diǎn)在B→O作加速運(yùn)動(dòng)，對(duì)應(yīng)條件為：mg≤

4kqQ

9R2

；②質(zhì)點(diǎn)在B→O做減速運(yùn)動(dòng)，對(duì)應(yīng)條件為：mg≥

4kqQ

R2

，質(zhì)點(diǎn)在B→O之間存在一個(gè)平衡點(diǎn)D，在B→D質(zhì)點(diǎn)做減速運(yùn)動(dòng)，在D→O做加速運(yùn)動(dòng)，對(duì)應(yīng)的條件為：

4kqQ

9R2

＜mg＜

4kqQ

R2

，結(jié)合能量守恒定律求出不同條件下所需的最小初動(dòng)能．

解答：解：（1）質(zhì)點(diǎn)在A→B應(yīng)作減速運(yùn)動(dòng)．設(shè)質(zhì)點(diǎn)在A點(diǎn)的最小初動(dòng)能為E_k0，則根據(jù)能量守恒得，可得質(zhì)點(diǎn)剛好能達(dá)到B點(diǎn)的條件為：

kqQ

R

-

kqQ

3R 2

+mgR=Ek0+

kqQ

2R

-

kqQ

5R 2

    ①
由此可得Ek0=mgR+

7kqQ

30R

．        ②
（2）質(zhì)點(diǎn)在B→0的運(yùn)動(dòng)有三種可能情況：
①質(zhì)點(diǎn)在B→O作加速運(yùn)動(dòng)（參看圖1），對(duì)應(yīng)條件為：
mg≤

4kqQ

9R2

                ③
此時(shí)只要質(zhì)點(diǎn)能過(guò)B點(diǎn)，也必然能到達(dá)O點(diǎn)，因此質(zhì)點(diǎn)能到達(dá)O點(diǎn)所需的最小動(dòng)能由②式給出，即
Ek0=mgR+

7kqQ

30R

．     ④
若③式中取等號(hào)，則最小初動(dòng)能比④式給出的E_k0略大一點(diǎn)．
②質(zhì)點(diǎn)在B→O做減速運(yùn)動(dòng)（參看圖1），對(duì)應(yīng)條件為：
mg≥

4kqQ

R2

  ⑤
此時(shí)質(zhì)點(diǎn)剛好能到達(dá)O點(diǎn)的條件為：

kqQ

R

-

kqQ

R 2

+mg(2R)=Ek0+

kqQ

2R

-

kqQ

5R 2

     ⑥
由此可得Ek0=2mgR-

11kqQ

10R

   ⑦
③質(zhì)點(diǎn)在B→O之間存在一個(gè)平衡點(diǎn)D，（參看圖2），在B→D質(zhì)點(diǎn)做減速運(yùn)動(dòng)，在D→O做加速運(yùn)動(dòng)，對(duì)應(yīng)的條件為：

4kqQ

9R2

＜mg＜

4kqQ

R2

    ⑧
設(shè)D到O點(diǎn)的距離為x，則：
mg=

kqQ

( R 2 +x)2

                ⑨
即x=

kqQ mg

-

R

2

                 ⑩
根據(jù)能量守恒，質(zhì)點(diǎn)剛好能到達(dá)D點(diǎn)的條件為：

kqQ

R

-

kqQ

( R 2 +x)

+mg(2R-x)=Ek0+

kqQ

2R

-

kqQ

5R 2

     （11）
由⑩（11）兩式可得質(zhì)點(diǎn)到達(dá)D點(diǎn)的最小初動(dòng)能為Ek0=

5

2

mgR+

9kqQ

10R

-2

kgmqQ

．
只要質(zhì)點(diǎn)能通過(guò)D點(diǎn)也必然能到達(dá)O點(diǎn)，所以質(zhì)點(diǎn)能到達(dá)O點(diǎn)的最小初動(dòng)能也就是（12）式（嚴(yán)格講應(yīng)比（12）式給出的E_k0略大一點(diǎn)．）
答：（1）要使質(zhì)點(diǎn)從 A 點(diǎn)上拋后能夠到達(dá)B點(diǎn)，所需的最小初動(dòng)能為Ek0=mgR+

7kqQ

30R

．
（2）當(dāng)mg≤

4kqQ

9R2

，最小初動(dòng)能為Ek0=mgR+

7kqQ

30R

；當(dāng)mg≥

4kqQ

R2

，最小初動(dòng)能為Ek0=2mgR-

11kqQ

10R

當(dāng)

4kqQ

9R2

＜mg＜

4kqQ

R2

，最小初動(dòng)能為Ek0=

5

2

mgR+

9kqQ

10R

-2

kgmqQ

．

點(diǎn)評(píng)：解決本題的關(guān)鍵知道帶電球面的電荷量可以等效到圓心，結(jié)合能量守恒定律進(jìn)行求解，注意第二問(wèn)中需分情況討論．