Question

如圖所示，水平放置長為L的平行金屬板A和B的距離為d，它們的右端安放著垂直于金屬板的靶MN，現(xiàn)在A、B板上加上如圖所示的方波電壓，電壓的正向值為U₀，反向電壓值為U₀/2，且每隔T/2換向一次，現(xiàn)有質(zhì)量為m、帶正電且電量為q的粒子束從A、B的中點O沿平行于金屬板OO'方向源源不斷的射入，設(shè)粒子能全部打在靶上而且所有粒子在A、B間的飛行時間均為T．不計重力的影響，則：

（1）在靶MN上距其中心0′點有粒子擊中的范圍是多少？
（2）要使粒子能全部打在靶MN上，電壓U₀的數(shù)值應(yīng)滿足的條件是什么？
（3）粒子能全部打在靶MN上，所有粒子中最大的動能是多少？

Answer 1

分析：（1）帶電粒子在水平方向做勻速直線運動，豎直方向在電場力的作用下做勻變速運動．當(dāng)粒子在0，T，2T，…nT時刻進(jìn)入電場中時，粒子將打在O′點下方最遠(yuǎn)點，粒子在豎直方向先向下做勻加速運動，后做勻減速運動．根據(jù)牛頓第二定律求出加速度，由位移公式分別求出前

T

2

時間內(nèi)和后

T

2

時間內(nèi)，粒子在豎直方向的位移，再粒子打在距O′點正下方的最大位移．當(dāng)粒子在

T

2

，

3

2

T，…（2n+1）

T

2

時刻進(jìn)入電場時，將打在O′點上方最遠(yuǎn)點．粒子在豎直方向先向上做勻加速運動，后做勻減速運動．同理求出粒子打在距O′點正上方的最大位移．
（2）要使粒子能全部打在靶上，粒子在豎直方向距O′點的最大位移小于

d

2

．代入（1）問的結(jié)論，求解電壓U₀的數(shù)值應(yīng)滿足的條件．
（3）帶電粒子在水平方向做勻速直線運動，由運動時間為T，求出粒子的初速度．根據(jù)動量定理研究豎直方向的分速度，再所有粒子中最大的動能．

解答：解：帶電粒子在水平方向做勻速直線運動，豎直方向在電場力的作用下做勻變速運動．粒子打在靶MN上的范圍，就是粒子在豎直方向所能到達(dá)的范圍．
（1）當(dāng)粒子在0，T，2T，…nT時刻進(jìn)入電場中時，粒子將打在O′點下方最遠(yuǎn)點，在前

T

2

時間內(nèi)，粒子在豎直向下的位移為：s1=

1

2

a1(

T

2

)2=

qU0T2

8md

在后

T

2

時間內(nèi)，粒子在豎直向下的位移為：s2=v

T

2

-

1

2

a2(

T

2

)2
將v=a1

T

2

=

qU0

2md

，代入上式得：s2=

3qU0T2

16md

故粒子打在距O′點正下方的最大位移為：s=s1+s2=

5qU0T2

16md

當(dāng)粒子在

T

2

，

3

2

T，…（2n+1）

T

2

時刻進(jìn)入電場時，將打在O′點上方最遠(yuǎn)點．
在前

T

2

時間內(nèi)，粒子在豎直向上的位移為：
   

s

/ 1

=

1

2

a

/ 1

(T/2)2=

1

2

qU0

md

(

T

2

)2=

qU0T2

16md

在后T/2時間內(nèi)，粒子在豎直向上的位移為：
   

s

/ 2

=v/

T

2

-

1

2

a

/ 2

(

T

2

)2
其中，v/=

a

/ 1

T

2

=

qU0T

4md

，

a

/ 2

=

qU0

md

，代入上式得：s₂′=0，
故粒子打在距O′點正上方的最大位移為：s/=

s

/ 1

+

s

/ 2

=

qU0T2

16md

．
（2）要使粒子能全部打在靶上，須有：

5qU0T2

16md

＜

d

2

，即U0＜

8md2

5qT2

．
（3）因為粒子在平行于極板方向做勻速直線運動，所以平行于極板的速度：v0=

L

T

設(shè)垂直于極板的速度度為v_y，則據(jù)動量定理有：mvy=

qU0

d

T

2

-

qU0

2d

T

2

=

1

4

qU0

d

T．
則打在靶上粒子的速度為v=

v 2 0 + v 2 y

=

L2 T2 + q2 U 2 0 T2 16m2d2

所以粒子能全部打在靶MN上，所有粒子中最大的動能是E_k=

1

2

mv2=

1

2

m(

L2

T2

+

q2 U 2 0 T2

16m2d2

)
答：（1）粒子打在距O′點正上方的最大位移為

qU0T2

16md

；
    （2）要使粒子能全部打在靶MN上，電壓U₀的數(shù)值應(yīng)滿足的條件是即U0＜

8md2

5qT2

；
    （3）粒子能全部打在靶MN上，所有粒子中最大的動能是

1

2

m(

L2

T2

+

q2 U 2 0 T2

16m2d2

)．

點評：本題是粒子在周期性變化的電場中運動，分析帶電粒子的運動情況是關(guān)鍵．