Question

如圖所示，在坐標(biāo)系xOy的第一、第三象限內(nèi)存在相同的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁場(chǎng)方向垂直于xOy平面向里；第四象限內(nèi)有沿y軸正方向的勻強(qiáng)電場(chǎng)，電場(chǎng)強(qiáng)度大小為E．一帶電量為+q、質(zhì)量為m的粒子，自y軸的P點(diǎn)沿x軸正方向射入第四象限，經(jīng)x軸上的Q點(diǎn)進(jìn)入第一象限，隨即撤去電場(chǎng)，以后僅保留磁場(chǎng)．已知OP=d，OQ=2d，不計(jì)粒子重力．
（1）求粒子過(guò)Q點(diǎn)時(shí)速度的大小和方向．
（2）若磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小為一定值B₀，粒子將以垂直y軸的方向進(jìn)入第二象限，求B₀．
（3）若磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小為另一確定值，經(jīng)過(guò)一段時(shí)間后粒子將再次經(jīng)過(guò)Q點(diǎn)，且速度與第一次過(guò)Q點(diǎn)時(shí)相同，求該粒子相鄰兩次經(jīng)過(guò)Q點(diǎn)所用的時(shí)間．

Answer 1

分析：（1）粒子在第四象限的電場(chǎng)中做類平拋運(yùn)動(dòng)，將運(yùn)動(dòng)安水平方向與豎直方向分解，并結(jié)合動(dòng)能定理可以求出粒子的速度和方向．
（2）粒子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，作出粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡，由數(shù)學(xué)知識(shí)求出粒子的軌道半徑；洛倫茲力提供粒子做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力，由牛頓第二定律可以求出磁感應(yīng)強(qiáng)度．
（3）求出粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間，求出粒子在二四象限運(yùn)動(dòng)的時(shí)間，然后求出粒子總的運(yùn)動(dòng)時(shí)間．

解答：解：（1）粒子在第四象限的電場(chǎng)中做類平拋運(yùn)動(dòng)，水平方向：2d=v₀t
豎直方向做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，最大速度v_y：d=

1

2

vyt
vy=at=

qE

m

?t
聯(lián)立以上三公式，得：v0=vy=

2qEd m

粒子的合速度：v=

v 2 0 + v 2 y

=2

qEd m

設(shè)合速度與水平方向的夾角為θ，則：tanθ=

vy

v0

=1，故θ=45°
（2）粒子以垂直y軸的方向進(jìn)入第二象限，則粒子偏轉(zhuǎn)的角度是135°，圓心到O點(diǎn)的距離是2d，射出點(diǎn)到O點(diǎn)的距離是4d．偏轉(zhuǎn)半徑r=2

2

d
粒子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，洛倫茲力提供向心力，即：qvB0=

mv2

r

代人數(shù)據(jù)，整理得：B0=

mE 2qd

（3）若經(jīng)過(guò)一段時(shí)間后粒子能夠再次經(jīng)過(guò)Q點(diǎn)，且速度與第一次過(guò)Q點(diǎn)時(shí)相同則粒子運(yùn)動(dòng)的軌如圖：

它在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的半徑：r′=

1

2

r=

2

d
粒子在一、三象限中運(yùn)動(dòng)的總時(shí)間：t1=

2πr′

v

=π

2md qE

粒子中二、四象限中運(yùn)動(dòng)軌跡的長(zhǎng)度：s=2

2

d
粒子中二、四象限中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間：t2=

2s

v

=2

2md qE

粒子相鄰兩次經(jīng)過(guò)Q點(diǎn)所用的時(shí)間：t=t1+t2=(2+π)

2md qE

答：（1）粒子過(guò)Q點(diǎn)時(shí)速度的大小v=2

qEd m

，與水平方向的夾角θ=45°  （2）粒子以垂直y軸的方向進(jìn)入第二象限時(shí)B0=

mE 2qd

（3）粒子相鄰兩次經(jīng)過(guò)Q點(diǎn)所用的時(shí)間t=(2+π)

2md qE

點(diǎn)評(píng)：本題是帶電粒子在電場(chǎng)、磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的綜合題，根據(jù)題意作出粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡．應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)求出粒子在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)的軌道半徑、粒子轉(zhuǎn)過(guò)的圓心角，是本題的難點(diǎn)，也是正確解題的關(guān)鍵．