Question

電子感應加速器工作原理如圖所示（圖1為側視圖、圖2為真空室的俯視圖）它主要有上、下電磁鐵磁極和環(huán)形真空室組成．當電磁鐵繞組通以交變電流時，產(chǎn)生交變磁場，穿過真空盒所包圍的區(qū)域內(nèi)的磁通量也隨時間變化，這時真空盒空間內(nèi)就產(chǎn)生感應渦旋電場．電子將在渦旋電場作用下得到加速．
（1）設被加速的電子被“約束”在半徑為r 的圓周上運動，整個圓面區(qū)域內(nèi)的平均磁感應強度為B，求電子所在圓周上的感生電場場強的大小與B的變化率滿足什么關系．
（2）給電磁鐵通入交變電流，一個周期內(nèi)電子能被加速幾次？
（3）在（1）條件下，為了維持電子在恒定的軌道上加速，電子軌道處的磁場r B 應滿足什么關系？

Answer 1

分析：（1）根據(jù)法拉第電磁感應定律，結合磁通量表達式，即可求解；
（2）根據(jù)在不同時間內(nèi)，分析電子受力與運動情況，從而即可求解；
（3）根據(jù)運動的合成與分解，由牛頓第二定律，結合洛倫茲力與向心力表達式，即可求解．

解答：解：（1）設被加速的電子被“約束”在半徑為r的圓周上運動，在半徑為r的圓面上，通過的磁通量為：?=πr2

.

B

，

.

B

是整個圓面區(qū)域內(nèi)的平均磁感應強度，
電子所在圓周上的感生電場場強為E′．根據(jù)法拉第電磁感應定律：E=

△?

△t

，得：
E′×2πr=

△ . B

△t

πr2，
感生電場的大小為：E′=

r

2

△ . B

△t

．
（2）給電磁鐵通入交變電流，從而產(chǎn)生變化的磁場，變化規(guī)律如圖2所示（以圖1中所標電流產(chǎn)生磁場的方向為正方向），要使電子能被逆時針（從上往下看，以下同）加速，一方面感生電場應是順時針方向，即在磁場的第一個或第四個

1

4

周期內(nèi)加速電子；而另一方面電子受到的洛侖茲力應指向圓心，只有磁場的第一或第二個

1

4

周期才滿足．所以只有在磁場變化的第一個

1

4

周期內(nèi)，電子才能在感生電場的作用下不斷加速．因此，一個周期內(nèi)電子只能被加速一次．
（3）設電子在半徑為r的軌道上運動時，軌道所在處的磁感應強度為B_r，而在半徑為r的圓面區(qū)域內(nèi)的平均磁感應強度為

.

B

，維持電子在恒定的軌道上加速必須滿足：
切線方向列牛頓第二定律方程：eE′=ma=m

△v

△t

由E′=

r

2

△ . B

△t

得：e

r

2

△ . B

△t

=m

△v

△t

…（1）
半徑方向列牛頓第二定律方程得：evBr=m

v2

r

化簡得：eBr=m

v

r

…（2）
將（2）式對時間微分得有e

△Br

△t

=

m

r

△v

△t

…（3）
由（1）（3）得：B_r=

B

2

即電子軌道處的磁感應強度為軌道內(nèi)部平均磁感應強度的一半．

答：（1）設被加速的電子被“約束”在半徑為r 的圓周上運動，整個圓面區(qū)域內(nèi)的平均磁感應強度為B，求電子所在圓周上的感生電場場強的大小與B的變化率滿足E′=

r

2

△ . B

△t

的關系；
（2）給電磁鐵通入交變電流，一個周期內(nèi)電子能被加速一次；
（3）在（1）條件下，為了維持電子在恒定的軌道上加速，電子軌道處的磁場r B 應滿足B_r=

B

2

關系．

點評：考查屬于力電綜合題，掌握牛頓第二定律與運動學公式的應用，注意運動的合成與分解，同時掌握洛倫茲力與向心力表達式．關鍵還是畫出電子的運動軌跡．