Question

如圖所示，兩個(gè)帶電小球（可視為質(zhì)點(diǎn)），固定在輕質(zhì)絕緣等腰直角三角形框架OAB的兩個(gè)端點(diǎn)A、B上，整個(gè)裝置可以繞過(guò)O點(diǎn)且垂直于紙面的水平軸在豎直平面內(nèi)自由轉(zhuǎn)動(dòng)．直角三角形的直角邊長(zhǎng)為L(zhǎng)．質(zhì)量分別為m_A=3m，m_B=m，電荷量分別為Q_A=-q，Q_B=+q．重力加速度為g．
（1）若施加豎直向上的勻強(qiáng)電場(chǎng)E，使框架OB邊水平、OA邊豎直并保持靜止?fàn)顟B(tài)，則電場(chǎng)強(qiáng)度E多大？
（2）若將勻強(qiáng)電場(chǎng)方向改為與原電場(chǎng)方向相反，保持E的大小不變，則框架OAB在接下來(lái)的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，帶電小球A的最大動(dòng)能E_kA為多少？
（3）在（2）中，設(shè)以O(shè)點(diǎn)為零勢(shì)能位，則框架OAB在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，A、B小球電勢(shì)能之和的最小值E′為多少？

Answer 1

分析：（1）以O(shè)為支點(diǎn)，根據(jù)三角架力矩平衡，求解電場(chǎng)強(qiáng)度E．
（2）框架OAB在向下運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，根據(jù)力矩平衡找出動(dòng)能最大位置，由動(dòng)能定理求解最大的動(dòng)能．
（3）框架OAB在向下運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，電場(chǎng)力一直做正功，A、B小球電勢(shì)能之和一直減小，當(dāng)框架的速度為零時(shí)，A、B小球電勢(shì)能之和最小，由電場(chǎng)力做功求出電勢(shì)能的最小值．

解答：解：（1）以O(shè)為支點(diǎn)，根據(jù)三角架力矩平衡，M_順=M_逆
    mgL=qEL
求得E=

mg

q

 
（2）設(shè)OA邊與豎直方向成α，當(dāng)系統(tǒng)的力矩平衡時(shí)動(dòng)能最大，則有  M_順=M_逆
即  3mgLsinα=mgLcosα+qELcosα+qELsinα
解得，OA桿與豎直方向夾角α=45°時(shí)A球動(dòng)能最大．
根據(jù)系統(tǒng)動(dòng)能定理W_合=△E_K，得
-3mgL（1-cos45°）+mgLsin45°+qEL sin45°+qEL（1-cos45°）=

1

2

?4mv²
求得A球最大速度v=

( 2 -1)gL

得到A球動(dòng)能E_KA=

3mgL( 2 -1)

2

．
（3）設(shè)OA邊與豎直方向成α?xí)r系統(tǒng)的速度為零，根據(jù)系統(tǒng)動(dòng)能定理
-3mgL（1-cosα）+mgLsinα+qELsinα+qEL（1-cosα）=0
得α=90°時(shí)系統(tǒng)速度為零，不能再繼續(xù)轉(zhuǎn)過(guò)去了．
由于該過(guò)程電場(chǎng)力一直做正功，A、B小球電勢(shì)能之和一直減小，所以此處A、B小球電勢(shì)能之和最小，E′=-qEL=-mgL．
答：
（1）電場(chǎng)強(qiáng)度E是

mg

q

．
（2）框架OAB在接下來(lái)的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，帶電小球A的最大動(dòng)能E_kA為

3mgL( 2 -1)

2

．
（3）框架OAB在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，A、B小球電勢(shì)能之和的最小值E′為-mgL．

點(diǎn)評(píng)：本題是力矩平衡與動(dòng)能定理的綜合，對(duì)于有固定轉(zhuǎn)動(dòng)軸的類(lèi)型，系統(tǒng)靜止時(shí)力矩平衡是基本規(guī)律．