Question

【題目】開普勒發(fā)現(xiàn)了行星運(yùn)動的三大定律，分別是軌道定律、面積定律和周期定，這三大定律最 終使他贏得了“天空立法者”的美名，開普勒第一定律：所有行星繞太陽運(yùn)動的軌道都是橢圓，太陽處在橢圓的一個焦點(diǎn)上。 開普勒第二定律：對任意一個行星來說，它與太陽的連線在相等的時間內(nèi)掃過相等的面積 開普勒第三定律：所有行星的軌道的半長軸的三次方跟它的公轉(zhuǎn)周期的二次方的比值都相等即：

(1)若將行星繞太陽的運(yùn)動視為勻速圓周運(yùn)動，圓周運(yùn)動半徑為 r，行星質(zhì)量為 m 太陽質(zhì)量為 M，如圖所示，請你結(jié)合開普勒定律、圓周運(yùn)動、牛頓定律等知識，證明太陽之間的引力與它們之間的質(zhì)量的乘積成正比，距離平方成反比即：F引

(2)如圖所示，人造地球衛(wèi)星在 I 軌道做勻速圓周運(yùn)動時，衛(wèi)星距地面高度為 h=3R，R 為地球的半徑， 衛(wèi)星質(zhì)量為 m，地球表面的重力加速度為 g，橢圓軌道的長軸 PQ=10R。

①a．求衛(wèi)星在 I 軌道運(yùn)動時的速度大小；

b．根據(jù)開普勒第三定律，求衛(wèi)星在Ⅱ軌道運(yùn)動時的周期大�。�

②在牛頓力學(xué)體系中，當(dāng)兩個質(zhì)量分別為 m1、m2 的質(zhì)點(diǎn)相距為 r 時具有的勢能，稱為引力勢能，其大小為 EP= (規(guī)定無窮遠(yuǎn)處勢能為零)衛(wèi)星在 I 軌道的 P 點(diǎn)點(diǎn)火加速，變軌到Ⅱ軌道

a．根據(jù)開普勒第二定律，求衛(wèi)星在橢圓軌道Ⅱ運(yùn)動時，在近地點(diǎn) P 與在遠(yuǎn)地點(diǎn) Q 的速率之比

b．衛(wèi)星在 I 軌道的 P 點(diǎn)，變軌到Ⅱ軌道，求則至少需對衛(wèi)星做多少功(不考慮衛(wèi)星質(zhì)量的變化和所受 的阻力)。

Answer 1

【答案】（1）證明過程見解析；（2）①a. ；b. ；②a.4:1；b.

【解析】

（1）行星做圓周運(yùn)動的向心力等于行星與恒星之間的引力： ；

根據(jù)開普勒第三定律可知：，帶入可知： ；

根據(jù)牛頓第三定律可知，力的作用是相互的，可知 ；

綜合兩式可知： ；

（2）①a.根據(jù)萬有引力等于向心力可得： ，且GM=gR2，

解得；

b.根據(jù)，結(jié)合 GM=gR2，

解得；

根據(jù)開普勒第三定律可知： ，

解得；

②a．根據(jù)開普勒第二定律，衛(wèi)星在橢圓軌道Ⅱ運(yùn)動時， ，

則在近地點(diǎn) P 與在遠(yuǎn)地點(diǎn) Q 的速率之比等于PQ兩點(diǎn)與地球連線的長度的倒數(shù)之比：

b.衛(wèi)星在軌道Ⅱ上運(yùn)動時機(jī)械能守恒，在最遠(yuǎn)點(diǎn)和最近點(diǎn)滿足：

，

解得，

則衛(wèi)星在 I 軌道的 P 點(diǎn)變軌到Ⅱ軌道至少需對衛(wèi)星做功：