Question

在如圖所示的空間坐標(biāo)系中，y軸的左邊有一勻強(qiáng)電場(chǎng)，場(chǎng)強(qiáng)大小為E，場(chǎng)強(qiáng)方向跟y軸負(fù)向成30°，y的右邊有一垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B₀在x軸上坐標(biāo)為x₀處的A點(diǎn)有一離子源，能向x軸正負(fù)方向以一定的初速度發(fā)射質(zhì)子．若先沿x軸正方向發(fā)射一質(zhì)子進(jìn)入磁場(chǎng)，經(jīng)一定時(shí)間后沿x軸負(fù)方向發(fā)射一質(zhì)子進(jìn)入磁場(chǎng)，二質(zhì)子回旋后都垂直于電場(chǎng)方向射入電場(chǎng)．若先射入磁場(chǎng)的質(zhì)子經(jīng)電場(chǎng)偏轉(zhuǎn)后，恰好與后射人磁場(chǎng)的質(zhì)子在第一次進(jìn)入電場(chǎng)的位置相遇，試求：
（1）質(zhì)子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的軌跡半徑R；
（2）初速度v₀和電場(chǎng)強(qiáng)度E、磁感應(yīng)強(qiáng)度B之間需要滿足的條件．
（3）兩質(zhì)子發(fā)射的時(shí)間間隔．

Answer 1

分析：（1）畫(huà)出質(zhì)子運(yùn)動(dòng)的軌跡圖，結(jié)合幾何關(guān)系求出質(zhì)子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的軌跡半徑．
（2）根據(jù)圖求出質(zhì)子兩軌跡交點(diǎn)在沿y軸方向上的位移，然后根據(jù)類平拋規(guī)律即可求解．
（3）根據(jù)帶電粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的周期公式分別求出兩質(zhì)子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間，以及第一個(gè)質(zhì)子在電場(chǎng)中運(yùn)行的時(shí)間，從而得出兩質(zhì)子發(fā)射的時(shí)間間隔．

解答：解：（1）兩個(gè)質(zhì)子的運(yùn)動(dòng)軌跡如圖所示，由幾何關(guān)系可知，
x₀=Rsin30°
解得R=2x₀．
（2）設(shè)質(zhì)子質(zhì)量為m，帶電量為q，在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，
由qv0B=m

v02

R

得，
R=

mv0

qB

第一個(gè)射入磁場(chǎng)的質(zhì)子，從y軸上的P點(diǎn)進(jìn)入電場(chǎng)后做類平拋運(yùn)動(dòng)，與第二個(gè)質(zhì)子在y軸上的Q點(diǎn)相遇，由幾何關(guān)系得，質(zhì)子沿y軸的位移為：
△y=2R
質(zhì)子的加速度a=

qE

m

沿電場(chǎng)方向△ycos30°=

1

2

at2
垂直電場(chǎng)方向△ysin30°=v₀t
解得v0=

3 E

6B

．
（3）質(zhì)子在磁場(chǎng)中圓周運(yùn)動(dòng)的周期為：T=

2πR

v0

第一個(gè)射入磁場(chǎng)的質(zhì)子，軌跡對(duì)應(yīng)的圓心角為θ₁=210°，
在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的周期為：t1=

210°

360°

T
進(jìn)入電場(chǎng)后在電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間t=

△ysin30°

v0

第二個(gè)射入磁場(chǎng)的質(zhì)子，軌跡對(duì)應(yīng)的圓心角為θ₂=30°
在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t2=

30°

360°

T
兩質(zhì)子發(fā)射的時(shí)間間隔△t=t₁+t-t₂
解得△t=

4(1+π) 3 Bx0

E

．
答：（1）質(zhì)子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的軌跡半徑為2x₀．
（2）初速度v₀和電場(chǎng)強(qiáng)度E、磁感應(yīng)強(qiáng)度B之間需要滿足的條件v0=

3 E

6B

．
（3）兩質(zhì)子發(fā)射的時(shí)間間隔△t=

4(1+π) 3 Bx0

E

．

點(diǎn)評(píng)：遇到帶電粒子在組合場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)問(wèn)題，一般思路是先畫(huà)出粒子運(yùn)動(dòng)的軌跡（若是圓周運(yùn)動(dòng)則需要找到圓心并確定半徑和圓心角），然后再應(yīng)用相應(yīng)的規(guī)律求解即可．