Question

如圖所示，直角坐標(biāo)系xOy所決定的平面內(nèi)，在平行于y軸的虛線(xiàn)MN右側(cè)、y＞0的區(qū)域存在著沿y軸負(fù)方向的勻強(qiáng)電場(chǎng)；在y＜0的某區(qū)域存在方向垂直于坐標(biāo)平面的圓形有界勻強(qiáng)磁場(chǎng)（圖中未畫(huà)出）．現(xiàn)有一電荷量為q、質(zhì)量為m的帶正電粒子從虛線(xiàn)MN上的P處，以平行于x軸方向的初速度v₀射人電場(chǎng)，并恰好從原點(diǎn)O處射出，射出時(shí)速度方向與x軸成60°角，此后粒子先做勻速運(yùn)動(dòng)，然后進(jìn)入磁場(chǎng)．粒子從圓形有界磁場(chǎng)中射出時(shí)，恰好位于√軸上Q（0，一l）處，且射出時(shí)速度方向沿x軸負(fù)方向，不計(jì)帶電粒子的重力．求：
（1）P、O兩點(diǎn)間的電勢(shì)差．
（2）勻強(qiáng)磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度．
（3）圓形有界勻強(qiáng)磁場(chǎng)的最小面積．（結(jié)果用q、m、l、v₀表示）

Answer 1

分析：（1）帶電粒子從P點(diǎn)射入電場(chǎng)做類(lèi)平拋運(yùn)動(dòng)，將O點(diǎn)速度分解，根據(jù)動(dòng)能定理求出P、O兩點(diǎn)間的電勢(shì)差U．
（2）粒子在y＜0的區(qū)域內(nèi)的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的軌道半徑為R，磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度為B．
由題意，粒子做圓周運(yùn)動(dòng)的圓心一定在y軸上，洛倫茲力提供向心力qvB=m

v2

R

，再根據(jù)幾何關(guān)系求出半徑R，代入可計(jì)算出B．
（3）當(dāng)以粒子進(jìn)入磁場(chǎng)的位置和射出磁場(chǎng)的位置的連線(xiàn)作為磁場(chǎng)的直徑時(shí)，磁場(chǎng)面積最小，由幾何關(guān)系知道得磁場(chǎng)面積最小時(shí)的半徑r=Rcos30°=

3

6

l．

解答：解：粒子在點(diǎn)場(chǎng)中做類(lèi)平拋運(yùn)動(dòng)，有v=

v0

cos60°

=2v0
設(shè)P、Q兩點(diǎn)間電勢(shì)差為U，由動(dòng)能定理有：
qU=

1

2

mv2-

1

2

mv02               
解得：U=

3mv02

2q

                    
（2）粒子在y＜0的區(qū)域內(nèi)運(yùn)動(dòng)的軌跡如圖所示．
設(shè)其在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的軌道半徑為R，磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度為B．
由題意，粒子做圓周運(yùn)動(dòng)的圓心一定在y軸上．
由牛頓第二定律qvB=m

v2

R

解得R=

mv

qB

由幾何知道得

R

sin30°

+R=l
解得R=

l

3

所以B=

6mv0

ql

（3）由題意，當(dāng)以粒子進(jìn)入磁場(chǎng)的位置和射出磁場(chǎng)的位置的連線(xiàn)作為磁場(chǎng)的直徑時(shí)，磁場(chǎng)面積最小   
設(shè)磁場(chǎng)的最小面積為S．
由幾何知道得磁場(chǎng)面積最小時(shí)的半徑r=Rcos30°=

3

6

l
解得最小面積為S=πr2=

πl2

12

．
答：（1）P、O兩點(diǎn)間的電勢(shì)差為

3mv02

2q

．
（2）勻強(qiáng)磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度為

6mv0

ql

．
（3）圓形有界勻強(qiáng)磁場(chǎng)的最小面積為

πl2

12

．

點(diǎn)評(píng)：解決本題的關(guān)鍵知道粒子在勻強(qiáng)電場(chǎng)中做類(lèi)平拋運(yùn)動(dòng)，進(jìn)入磁場(chǎng)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，根據(jù)牛頓第二定律、運(yùn)動(dòng)學(xué)公式以及幾何關(guān)系進(jìn)行求解．