Question

（2010?渭南一模）如圖所示，在傾角為θ的足夠長的斜面上，有一質(zhì)量為M的長木板．開始時(shí)，長木板上有一質(zhì)量為m的小鐵塊（視為質(zhì)點(diǎn)）以相對地面的初速度v₀從長木板的中點(diǎn)沿長木板向下滑動，同時(shí)長木板在沿斜面向上的拉力作用下始終做速度為v的勻速運(yùn)動（已知v₀＞v），小鐵塊最終跟長木板一起向上做勻速運(yùn)動．已知小鐵塊與木板、木板與斜面間的動摩擦因數(shù)均為μ（μ＞tanθ），試求：
（1）小鐵塊在長木板上滑動時(shí)的加速度大小和方向？
（2）長木板至少要有多長？
（3）小鐵塊從中點(diǎn)開始運(yùn)動到最終勻速運(yùn)動的過程中拉力做了多少功？

Answer 1

分析：（1）小鐵塊在長木板上滑動時(shí)受到重力、木板的支持力和摩擦力作用，根據(jù)牛頓第二定律求解加速度．
（2）小鐵塊先沿斜面向下勻減速至速度為零再沿斜面向上勻加速，最終跟長木板一起向上做勻速運(yùn)動．由于鐵塊變速運(yùn)動過程的加速度一定，看成一種勻減速運(yùn)動，取沿斜面向上方向?yàn)檎�方向，此過程的初速度為-v₀，末速度為v，由速度公式可求出時(shí)間．由位移公式分別此段時(shí)間內(nèi)小鐵塊的位移s₁和木板的位移s₂，由幾何關(guān)系得，長木板的長度應(yīng)滿足：

L

2

≥s₁+s₂，即可求解長木板的最小的長度L．
（3）長木板始終沿斜面向上做勻速運(yùn)動，由平衡條件求出拉力F，再求解其做功．

解答：解：（1）小鐵塊在長木板上滑動時(shí)受到重力、木板的支持力和沿板向上的滑動摩擦力作用，設(shè)小鐵塊的加速度大小為a，對小鐵塊受力分析有（取沿斜面向上為正）：
  μmgcosθ-mgsinθ=ma                           
得 a=g（μcosθ-sinθ）                                   
因?yàn)棣蹋総anθ，所以小鐵塊與木板有相對滑動時(shí)的加速度沿斜面向上．
（2）小鐵塊先沿斜面向下勻減速至速度為零再沿斜面向上勻加速，最終獲得穩(wěn)定速度v，設(shè)t后小鐵塊達(dá)到穩(wěn)定速度，則
  v-（-v₀）=at
得 t=

v0+v

g(μcosθ-sinθ)

                      
設(shè)此段時(shí)間內(nèi)小鐵塊的位移為s₁，木板的位移為s₂，有：
s1=

(v0-v)t

2

     方向沿斜面向下（式中v₀＞v）          
s₂=vt　　　　　方向沿斜面向上                   
∵

L

2

≥s₁+s₂                              
∴L≥2（s₁+s₂）=

(v0+v)2

g(μcosθ-sinθ)

          
（3）對木板M受力分析知拉力為恒力：F=μ（m+M）gcosθ+μmgcosθ+Mgsinθ  
則由W=Fs₂=Fvt得：
W=

[μ(m+M)gcosθ+μmgcosθ+Mgsinθ]

μgcosθ-gsinθ

（v₀+v）v=

[μ(m+M)cosθ+Msinθ](v0+v)v

μcosθ-sinθ

答：
（1）小鐵塊在長木板上滑動時(shí)的加速度大小是g（μcosθ-sinθ），方向沿斜面向上．
（2）長木板至少長

(v0+v)2

g(μcosθ-sinθ)

．
（3）小鐵塊從中點(diǎn)開始運(yùn)動到最終勻速運(yùn)動的過程中拉力做功為

[μ(m+M)cosθ+Msinθ](v0+v)v

μcosθ-sinθ

．

點(diǎn)評：本題是兩個(gè)物體多個(gè)過程的問題，分析物體的運(yùn)動過程是基礎(chǔ)，把握臨界條件是解題的關(guān)鍵．