Question

如圖所示，均勻光滑直桿AB長為L，可繞光滑固定轉(zhuǎn)軸O轉(zhuǎn)動，O在距B點(diǎn)

L

3

處．在水平桿的另一端A下擺經(jīng)過的軌跡上安裝光電門，用來測量A端的瞬時速度v_A，光電門測量位置和距轉(zhuǎn)軸O的高度差h可以調(diào)節(jié)，有一質(zhì)量為m的小球套在光滑桿上，重力加速度g取10m/s²．
（1）若桿的質(zhì)量忽略不計，小球固定在桿OA的中點(diǎn)處，由靜止釋放桿，請寫出光電門測量到的速度v_A與高度差h的關(guān)系式；
（2）實(shí)際情況下桿的質(zhì)量M不能忽略，拿走小球后重復(fù)實(shí)驗(yàn)，得到了如圖所示的v_A²與h關(guān)系圖線．請寫出桿繞O點(diǎn)轉(zhuǎn)動時的動能E_k與v_A的關(guān)系式；
（3）將光電門安裝在OA中點(diǎn)正下方

L

3

處，將桿由水平位置靜止釋放，套在桿上某處的小球由靜止開始沿桿下滑，恰好經(jīng)過該光電門，測得小球?qū)Φ厮俣却笮�為v．已知桿的質(zhì)量M是小球質(zhì)量m的

2

倍，桿繞O點(diǎn)轉(zhuǎn)動時的動能E_k與v_A滿足（2）問關(guān)系．求此時小球重力做功的瞬時功率P．

Answer 1

（1）根據(jù)圖中幾何關(guān)系可知，A端下降高度為h時，小球下降高度為

h

2

，設(shè)此時小球的速度為v₁．有機(jī)械能守恒定律：

1

2

mv12=mg

h

2

由小球與A端共軸，有相同的角速度，所以：v_A=2v₁
解得：vA=2

gh

（2）考慮桿的質(zhì)量，拿走小球后，桿的重心距轉(zhuǎn)軸O的距離為

L

6

．因此桿的重心下降高度H與A端下降高度h的關(guān)系為：H=

h

4

對桿和球組成的整體，由動能定理得：E_k=

2

3

Mg

h

2

-

1

3

Mg

h

4

由圖象得：h=

vA2

45

得：E_k=

MvA2

18

（3）小球下降高度h′=

L

3

，此時桿與水平方向夾角為45°．由幾何關(guān)系知，桿的重心下降高度H′=

L

6

cos450=

2 L

12

設(shè)桿此時動能為E_k，小球垂直桿方向的分速度為v₁，小球沿桿方向分速度為v₂
桿和小球組成的系統(tǒng)機(jī)械能守恒：mg

L

3

+Mg

2 L

12

=

1

2

mv2+Ek
解得：Ek=

1

2

mgL-

1

2

mv2
又：

v ′A

v1

=

2 3 L

2 3 L

=

2

，
Ek=

M v 2A

18

=

2 m v 2A

18

解得：v₁=

9 2 (10L-v2) 4

又v2=

v2- v 21

=

(4+9 2 )v2-90 2 L 4

又：p=mgv1cos450+mgv2cos450
解得：p=10m(

9 2 (10L-v2) 8 + (4+9 2 )v2-90 2 L 8

)
答：（1）光電門測量到的速度v_A與高度差h的關(guān)系式為vA=2

gh

；
（2）桿繞O點(diǎn)轉(zhuǎn)動時的動能E_k與v_A的關(guān)系式為Ek=

M v 2A

18

；
（3）此時小球重力做功的瞬時功率P為10m(

9 2 (10L-v2) 8 + (4+9 2 )v2-90 2 L 8

)．