Question

【題目】如圖甲所示的矩形區(qū)域abcd內(nèi)存在著如圖乙所示的磁場(chǎng)（包括邊界），規(guī)定磁場(chǎng)方向垂直紙面向里為正，其中bc=2ab=2l，e為bc邊界上的一點(diǎn)，且．重力可忽略不計(jì)的正粒子從d點(diǎn)沿dc方向以初速度v0射入磁場(chǎng)，已知粒子的比荷為k。求：

(1)如果在0時(shí)刻射入磁場(chǎng)的粒子經(jīng)小于半個(gè)周期的時(shí)間從邊界上的e點(diǎn)離開，則磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度B0應(yīng)為多大？

(2)如果磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度，欲使在小于半個(gè)周期的任意時(shí)刻射入磁場(chǎng)的粒子均不能由ad邊離開磁場(chǎng)，則磁場(chǎng)的變化周期T0應(yīng)滿足什么條件？

(3)如果磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度，在bc邊的右側(cè)加一垂直bc邊向左的勻強(qiáng)電場(chǎng)，0時(shí)刻射入磁場(chǎng)的粒子剛好經(jīng)過T0垂直bc邊離開磁場(chǎng)，經(jīng)過一段時(shí)間又從a點(diǎn)離開磁場(chǎng)區(qū)域，則電場(chǎng)強(qiáng)度E以及粒子在電場(chǎng)中的路程x分別為多大？

Answer 1

【答案】(1) (2)

(3);

【解析】試題分析：畫出粒子運(yùn)動(dòng)軌跡，根據(jù)幾何關(guān)系求出半徑，由洛倫茲力提供向心力即可求出磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度；畫出粒子恰好不從ad邊離開磁場(chǎng)的臨界軌跡，求出運(yùn)動(dòng)的時(shí)間，當(dāng)粒子運(yùn)動(dòng)時(shí)間等于磁場(chǎng)變化半個(gè)周期的時(shí)間時(shí)，恰好與ad邊相切，磁場(chǎng)變化的周期要小于等于臨界周期，才能滿足題設(shè)條件；畫出滿足題意的粒子運(yùn)動(dòng)軌跡，0時(shí)刻射入磁場(chǎng)的粒子剛好經(jīng)過垂直bc邊離開磁場(chǎng)，則經(jīng)過粒子旋轉(zhuǎn)圓周，第二個(gè)粒子繼續(xù)旋轉(zhuǎn)圓周，要想粒子能從a點(diǎn)離開，在電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)間至少，考慮周期性，電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)間為（n取整數(shù)），由牛頓定律和勻變速直線運(yùn)動(dòng)的規(guī)律即可求解電場(chǎng)強(qiáng)度E以及粒子在電場(chǎng)中的路程．

（1）由題意作出粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡，如圖1所示，

在磁場(chǎng)中，洛倫茲力提供向心力，有，由幾何關(guān)系，有

解得，由于，解得；

（2）由可知，粒子運(yùn)動(dòng)的半徑為，臨界情況為粒子從t=0時(shí)刻射入，并且軌跡恰好與ad邊相切，如圖2所示

圓周運(yùn)動(dòng)的周期為；

由幾何關(guān)系可知，內(nèi)，粒子轉(zhuǎn)過的圓心角為；

對(duì)應(yīng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為，應(yīng)滿足，聯(lián)立可得：
（3）根據(jù)題意畫出粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡如圖3所示

由題意有：，得，在電場(chǎng)中有

往返一次用時(shí)為；

應(yīng)有，可得，（n=0，1，2…）；

運(yùn)動(dòng)的路程為：，（n=0，1，2，3…）