Question

一足夠長(zhǎng)的矩形區(qū)域abcd內(nèi)充滿磁感應(yīng)強(qiáng)度為B、方向垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，矩形區(qū)域的左邊界ad長(zhǎng)為L(zhǎng)，現(xiàn)從ad中點(diǎn)O垂直于磁場(chǎng)射入一速度方向與ad邊夾角為30°、大小為v₀的帶正電粒子，如圖所示．已知粒子電荷量為q，質(zhì)量為m（重力不計(jì)）：
（1）若要求粒子能從ab邊射出磁場(chǎng)，v₀應(yīng)滿足什么條件？
（2）若要求粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間最長(zhǎng)，粒子應(yīng)從哪一條邊界處射出？最長(zhǎng)時(shí)間是多少？出射點(diǎn)位于該邊界上何處？

Answer 1

（1）粒子帶正電，粒子運(yùn)動(dòng)的軌跡如圖所示，當(dāng)粒子的速度大于與R₁相對(duì)應(yīng)的速度v₁時(shí)，粒子將恰好不從dc邊射出．
由幾何關(guān)系可得：R₁=L…①
由洛侖茲力和向心力公式可得：qv₁B=m

v12

R1

…②
當(dāng)粒子的速度小于與R₂相對(duì)應(yīng)的速度v₂時(shí)，粒子將從ad邊射出．
由幾何關(guān)系可得：R₂+R₂sin30°=

1

2

L…③
由③式解得：R₂=

1

3

L…④
由洛侖茲力和向心力公式可得：qv₂B=m

v22

R2

…⑤
將①④式分別代入②⑤式可解得v₁=

qBL

m

，v₂=

qBL

3m

所以v₀的取值范圍是

qBL

3m

＜v₀≤

qBL

m

．
（2）若粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間最長(zhǎng)，其對(duì)應(yīng)的圓周運(yùn)動(dòng)的圓心角必然最大，在答圖中，當(dāng)粒子的速度小于v₂時(shí)，粒子從ad邊的不同位置射出時(shí)，其半徑雖不同，但圓心角的夾角都是

5

6

×2π，所以粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間也是

5

6

T，此即粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的最長(zhǎng)時(shí)間．
粒子運(yùn)動(dòng)的周期：T=

2πR

v

=

2πm

qB

所以粒子運(yùn)動(dòng)的最長(zhǎng)時(shí)間為：t=

5

6

T=

5πm

3qB

.

OP

=2R₂sin30°=R₂=

1

3

L
即：粒子將從O點(diǎn)上方的

1

3

L的范圍射出磁場(chǎng)．
答：（1）若要求粒子能從ab邊射出磁場(chǎng)，v₀應(yīng)滿足

qBL

3m

＜v₀≤

qBL

m

．
（2）若要求粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間最長(zhǎng)，粒子應(yīng)從ad邊界處射出，最長(zhǎng)時(shí)間是

5πm

3qB

，
出射點(diǎn)位于該邊界上O點(diǎn)上方

1

3

L處．