Question

如圖甲所示，K與虛線MN之間是加速電場(chǎng)，虛線MN與PQ之間是正交的勻強(qiáng)電場(chǎng)和勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域，電場(chǎng)與磁場(chǎng)的方向如圖．MN、PQ與熒光屏三者互相平行．一帶正電的粒子（不計(jì)重力）由靜止開始經(jīng)加速電場(chǎng)后從A點(diǎn)垂直方向進(jìn)入正交電磁場(chǎng)區(qū)，沿水平直線打在熒光屏的O點(diǎn)．現(xiàn)撤除MN與PQ間的磁場(chǎng)，而將同樣大小和方向的磁場(chǎng)充滿PQ與熒光屏之間，如圖乙所示．其他條件不變，帶電粒子在離開偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)后進(jìn)入勻強(qiáng)磁場(chǎng)，最后恰好垂直地打在熒光屏上．已知電場(chǎng)和磁場(chǎng)區(qū)域在豎直方向足夠長(zhǎng)，加速電場(chǎng)電壓與偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)的場(chǎng)強(qiáng)關(guān)系為U=

1

2

Ed，式中的d是偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)的寬度．若題中只有偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)的寬度d為已知量，則
（1）畫出乙圖中帶電粒子軌跡示意圖；
（2）磁場(chǎng)的寬度L為多少？
（3）帶電粒子在電場(chǎng)和磁場(chǎng)中在豎直方向的偏轉(zhuǎn)距離分別是多少？

Answer 1

分析：（1）粒子先在電場(chǎng)中加速直線運(yùn)動(dòng)，當(dāng)垂直勻強(qiáng)電場(chǎng)時(shí)，做類平拋運(yùn)動(dòng)后，垂直進(jìn)入勻強(qiáng)磁場(chǎng)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，正好垂直出磁場(chǎng)打到屏上．
（2）在加速直線運(yùn)動(dòng)中，根據(jù)動(dòng)能定理可列出垂直進(jìn)入勻強(qiáng)電場(chǎng)的速度與電壓的關(guān)系式；當(dāng)粒子做平拋運(yùn)動(dòng)時(shí)，由平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律可列出沿電場(chǎng)力方向速度、加速度與時(shí)間關(guān)系式；由題意再結(jié)合粒子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的圓弧半徑與磁場(chǎng)寬度的關(guān)系，從而求出磁場(chǎng)的寬度；
（3）分別運(yùn)用運(yùn)動(dòng)學(xué)公式，求出類平拋運(yùn)動(dòng)與勻速圓周運(yùn)動(dòng)的偏移量．

解答：解：（1）軌跡如圖所示   
（2）粒子在加速電場(chǎng)中，由動(dòng)能定理有qU=

1

2

m

v

2 0

粒子在勻強(qiáng)電場(chǎng)中做類平拋運(yùn)動(dòng)，設(shè)偏轉(zhuǎn)角為θ，有tanθ=

vy

v0

電場(chǎng)力方向：v_y=at
牛頓第二定律：a=

qE

m

初速度方向，勻速直線運(yùn)動(dòng)：t=

d

v0

勻強(qiáng)電場(chǎng)與電勢(shì)差關(guān)系：U=

1

2

Ed   
 解得：θ=45°
由幾何關(guān)系得，帶電粒子離開偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)速度為

2

v0
粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)，由牛頓第二定律有：qvB=m

v2

R

在正交的電磁場(chǎng)區(qū)有：qE=qv₀B              
在磁場(chǎng)中偏轉(zhuǎn)的半徑為 R=

mv

qB

=

2 mv0

qE/v0

=

2 m v 2 0

qE

=

2

d
由圖可知，磁場(chǎng)寬度L=Rsinθ=d    
（3）粒子在偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)中：△y1=

1

2

at2
帶電粒子在偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)中距離為△y₁=0.5d，
在磁場(chǎng)中偏轉(zhuǎn)距離為△y2=(1-

2

2

)×

2

d=0.414d
答：（1）帶電粒子軌跡示意圖如上圖；
（2）磁場(chǎng)的寬度L為d；
（3）帶電粒子在電場(chǎng)和磁場(chǎng)中在豎直方向的偏轉(zhuǎn)距離分別是0.5d與0.414d．

點(diǎn)評(píng)：考查動(dòng)能定理、平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律、牛頓第二定律、電場(chǎng)強(qiáng)度與電勢(shì)差關(guān)系，并涉及到電場(chǎng)力使粒子做類平拋運(yùn)動(dòng)，洛倫茲力使粒子做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，同時(shí)利用圓弧的幾何知識(shí)來確定長(zhǎng)度關(guān)系．本題是力電綜合題，有一定難度，容易失分．