Question

如圖所示，方向垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)的邊界，是一個(gè)半徑為r的圓，圓心O₁在x軸上，OO₁距離等于圓的半徑．虛線MN平行于x軸且與圓相切于P點(diǎn)，在MN的上方是正交的勻強(qiáng)電場(chǎng)和勻強(qiáng)磁場(chǎng)，電場(chǎng)強(qiáng)度的大小為E，方向沿x軸的負(fù)方向，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，方向垂直紙面向外．有-群相同的正粒子，以相同的速率，在紙面內(nèi)沿不同方向從原點(diǎn)O射入第I象限，粒子的速度方向在與x軸成θ=30°角的范圍內(nèi)，其中沿x軸正方向進(jìn)入磁場(chǎng)的粒子經(jīng)過(guò)P點(diǎn)射入MN后，恰好在正交的電磁場(chǎng)中做直線運(yùn)動(dòng)．粒子的質(zhì)量為m．電荷量為q（不計(jì)粒子的重力）．求：
（1）粒子的初速率；
（2）圓形有界磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度：
（3）若只撤去虛線MN上面的磁場(chǎng)B，這些粒子經(jīng)過(guò)y軸的坐標(biāo)范圍．

Answer 1

（1）帶電粒子受到電場(chǎng)力與洛倫茲力相平衡，
則有：qE=qv₀B
解得：v0=

E

B

（2）設(shè)正粒子在圓形有界磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為R，
則有：R=r
洛倫茲力提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律，
則有：B′qv0=

m v 20

R

，
解得：B′=

mE

qBr

（3）沿x軸正方向進(jìn)入圓形有界磁場(chǎng)的粒子經(jīng)電場(chǎng)E偏轉(zhuǎn)后，過(guò)y軸上點(diǎn)的坐標(biāo)最大，
則有：r=

1

2

qE

m

t2  
且△y₁=v₀t₁ 
所以 y₁=△y₁+r 
解得：y1=r+

E

B

2mr Eq

沿與x軸正方向與θ=30°角進(jìn)入圓形有界磁場(chǎng)的粒子經(jīng)電場(chǎng)E偏轉(zhuǎn)后，過(guò)y軸上點(diǎn)的坐標(biāo)最小，
則有：

r

2

=

1

2

qE

m

t

22

又△y₂=v₀t₂ 
且 y₂=△y₂+r  
解得：y2=r+

E

B

mr Eq

即，r+

E

B

mr Eq

≤y≤r+

E

B

2mr Eq

答：（1）粒子的初速率

E

B

；
（2）圓形有界磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度

mE

qBr

：
（3）若只撤去虛線MN上面的磁場(chǎng)B，這些粒子經(jīng)過(guò)y軸的坐標(biāo)范圍r+

E

B

mr Eq

≤y≤r+

E

B

2mr Eq

．