Question

如圖所示的空間分為I、Ⅱ兩個區(qū)域，邊界AD與邊界AC的夾角為30°，邊界AC與MN平行，I、Ⅱ區(qū)域均存在磁感應強度大小為B的勻強磁場，磁場的方向分別為垂直紙面向外和垂直紙面向里，Ⅱ區(qū)域?qū)挾葹閐，邊界AD上的P點與A點間距離為2d．一質(zhì)量為m、電荷量為+q的粒子以速度v=2Bqd/m，
沿紙面與邊界AD成60°的圖示方向從左邊進入I區(qū)域磁場（粒子的重力可忽略不計）．
（1）若粒子從P點進入磁場，從邊界MN飛出磁場，求粒子經(jīng)過兩磁場區(qū)域的時間．
（2）粒子從距A點多遠處進入磁場時，在Ⅱ區(qū)域運動時間最短？
（3）若粒子從P點進入磁場時，在整個空間加一垂直紙面向里的勻強電場，場強大小為E，當粒子經(jīng)過邊界AC時撤去電場，則該粒子在穿過兩磁場區(qū)域的過程中沿垂直紙面方向移動的距離為多少？

Answer 1

分析：（1）粒子射入磁場后受到洛倫茲力而做勻速圓周運動，由洛倫茲力提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律可求得粒子的軌跡半徑和周期，畫出軌跡，找出軌跡對應的圓心角θ，由t=

θ

360°

T求時間．
（2）因粒子的軌跡半徑一定，在當軌跡的弦最短時，在Ⅱ區(qū)運動時間最短，由幾何關(guān)系求得時間最短時運動軌跡對應的弧長，根據(jù)幾何關(guān)系求得入射點到A點的距離．
（3）加上電場后，粒子沿電場方向做勻加速運動，在Ⅱ區(qū)域沿磁場方向做勻速運動，根據(jù)運動學公式和幾何關(guān)系求解此題．

解答：解：（1）設粒子在磁場中作圓周運動的半徑為r，則
   qvB=m

v2

r

由題意，v=

2Bqd

m

解得，r=2d
粒子在磁場中作圓周運動的周期 T=

2πm

qB

設粒子在Ⅰ區(qū)轉(zhuǎn)過的角度為θ，則
   sinθ=

2dsin30°

r

=

1

2

得θ=30°
粒子在Ⅰ區(qū)運動時間 t₁=

θ

360°

T
設粒子在Ⅱ區(qū)運動時間為t₂，由對稱關(guān)系可知，粒子經(jīng)過兩磁場區(qū)域的時間為t=t₁+t₂=2t₁
解得，t=

πm

3qB

（2）在Ⅱ區(qū)運動時間最短時，運動圓弧對應的弦長最短，應為d，由幾何關(guān)系可知，粒子入射點Q到邊界AC的距離應為

d

2

則入射點Q與A點的距離為d．
（3）再加上電場后，粒子沿電場方向做勻加速運動的加速度為 a=

qE

m

在Ⅰ區(qū)沿電場方向的偏轉(zhuǎn)距離為 y₁=

1

2

a

t

2 1

在Ⅱ區(qū)域沿磁場方向做勻速運動，y₂=at₁?t₂
則在粒子在穿過兩磁場區(qū)域的過程中沿垂直紙面方向移動的距離為
  y=y₁+y₂=

π2mE

24qB

答：
（1）若粒子從P點進入磁場，從邊界MN飛出磁場，粒子經(jīng)過兩磁場區(qū)域的時間為

πm

3qB

．
（2）粒子從距A點d處進入磁場時，在Ⅱ區(qū)域運動時間最短
（3）粒子在穿過兩磁場區(qū)域的過程中沿垂直紙面方向移動的距離為

π2mE

24qB

．

點評：本題是常見的帶電粒子在磁場中運動的問題，畫出軌跡，運用幾何關(guān)系和牛頓第二定律等知識進行求解．