Question

如圖，從陰極K發(fā)射的熱電子，重力和初速均不計(jì)，通過加速電場后，沿圖示虛線垂直射入勻強(qiáng)磁場區(qū)，磁場區(qū)域足夠長，寬度為L=2.5cm．已知加速電壓為U=182V，磁感應(yīng)強(qiáng)度B=9.1×10^-4T，電子的電量e=1.6×10^-19C，電子質(zhì)量m=9.1×10^-31kg．求：
（1）電子在磁場中的運(yùn)動半徑R
（2）電子在磁場中運(yùn)動的時間t（結(jié)果保留π）
（3）若加速電壓大小可以改變，其他條件不變，為使電子在磁場中的運(yùn)動時間最長，加速電壓U應(yīng)滿足什么條件？

Answer 1

分析：（1）應(yīng)用動能定理電子解出穿出電場時的速度．電子進(jìn)入磁場后發(fā)生偏轉(zhuǎn)，做勻速圓周運(yùn)動，由洛倫茲力提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律求解在磁場中的運(yùn)動半徑R．
（2）先根據(jù)圓周運(yùn)動的知識求得電子在磁場中運(yùn)動的周期T．畫出軌跡，由幾何知識求出電子在磁場中運(yùn)動軌跡所對應(yīng)的圓心角θ，由t=

θ

2π

T求解在磁場中運(yùn)動的時間t．
（3）為使電子在磁場中的運(yùn)動時間最長，電子軌跡對應(yīng)的圓心角必須最大，最大圓心角為180°，軌跡恰好與磁場右邊界相切，求得軌跡半徑，根據(jù)上題的結(jié)果即可求解．

解答：解：（1）加速電場中由動能定理得；
 eU=

1

2

mv²-0
解得：v=

2eU m

=

2×1.6×10-19×182 9.1×10-31

=8×10⁶m/s
磁場中做圓周運(yùn)動，由牛頓第二定律得：
 evB=

mv2

R

解得：R=

mv

eB

=

9.1×10-31×8×106

1.6×10-19×9.1×10-4

m=0.05m
（2）磁場中運(yùn)動的周期 T=

2πR

v

=

2π×0.05

8×106

s=

π

8

×10^-7s
由幾何關(guān)系 sinθ=

L

R

=

1

2

則 θ=30°
故電子在磁場中運(yùn)動的時間為：t=

30°

360°

T=

T

12

=

π

96

×10^-7s
（3）電子在磁場中的運(yùn)動時間最長時，圓心角 θ=180°
當(dāng)運(yùn)動軌跡恰與磁場右界相切時，R=L=2.5cm=0.025m
依題意有R≤0.025m
由 R=

mv

eB

和v=

2eU m

得：U=

eB2R2

2m

代入解得：U≤45.5V
（1）電子在磁場中的運(yùn)動半徑R是0.05m．
（2）電子在磁場中運(yùn)動的時間t是

π

96

×10^-7s．
（3）為使電子在磁場中的運(yùn)動時間最長，加速電壓U應(yīng)滿足的條件是：U≤45.5V．

點(diǎn)評：電子在勻強(qiáng)電場中運(yùn)動的問題也可以用牛頓第二定律結(jié)合運(yùn)動學(xué)公式求解．
電子在勻強(qiáng)磁場中的運(yùn)動問題，我們要從定圓心，找半徑，畫軌跡這些步驟入手，根據(jù)題意找出可能出現(xiàn)的情況去研究．其中圓周半徑R是橋梁，一方面聯(lián)系了m、v、B、q物理量，另一方面聯(lián)系了圖中的幾何關(guān)系．