Question

如圖甲，距離很近的豎直邊界兩側為相同的勻強磁場區(qū)域，磁場范圍很大，方向垂直紙面向里．在邊界上固定兩個等長的平行金屬板A 和D，兩金屬板中心各有-小孔S₁、S₂，板間電壓的變化規(guī)律如圖乙，正、反向最大電壓均為U₀，周期為T₀．一個質量為m、電荷量為+q 的粒子在磁場中運動的周期也是T₀．現將該粒子在t=T₀/4時刻由S₁ 靜止釋放，經電場加速后通過S₂又垂直于邊界進人右側磁場區(qū)域，在以后的運動過程中不與金屬板相碰．不計粒子重力、極板外的電場及粒子在兩邊界間運動的時間．
（ l ）求金屬板的最大長度．
（ 2 ）求粒子第n 次通過S₂的速度．
（ 3）若質量m′=13/12m 電荷量為+q 的另一個粒子在t=0 時刻由S₁靜止釋放，求該粒子在磁場中運動的最大半徑．

Answer 1

分析：（1）粒子在勻強電場中做勻加速直線運動，電場力做功等于粒子動能的增加；使粒子不與極板相撞，則運動的半徑大于

L

2

；
（2）粒子在磁場中D的運動軌跡是兩個半圓，所以在磁場中運動的時間就是一個周期，也是T₀．每次加速的電壓總為

U0

2

；
（3）質量m′=13/12m 電荷量為+q 的另一個粒子在t=0 時刻由S₁靜止釋放，它在磁場中的周期：T=

2πm′

qB

=

13

12

?

2πm

qB

=

13

12

T0，所以粒子第二次被加速時的電壓是

5

6

U0，第三次被加速時的電壓是

4

6

U0，…分析可知，粒子被連續(xù)加速6次后，圓周運動的半徑最大．

解答：解：（1）由題意知，粒子第一次在電場中運動，由動能定理有   q

U0

2

=

1

2

mv02
粒子在磁場里做勻速圓周運動，有qvB=m

v2

R

周期   T0=

2πm

qB

半徑    r=

mv0

qB

在磁場里做勻速圓周運動的最小半徑r=

L

4

解得金屬板的最大長度 L=

2T0

π

qU0 m

（2）粒子每從S₁、S₂中穿過一次，就會被加速一次，且每次加速的電壓總為

U0

2

對粒子由動能定理有　　n

U0

2

q=

1

2

mvn2
解得vn=

nU0q m

（3）質量m′=13/12m 電荷量為+q 的另一個粒子在磁場中的周期：T=

2πm′

qB

=

13

12

?

2πm

qB

=

13

12

T0
所以粒子第二次被加速時的電壓是

5

6

U0，第三次被加速時的電壓是

4

6

U0，…
分析可知，粒子被連續(xù)加速6次后，圓周運動的半徑最大，記為r₆
第1次加速過程中，由動能定理有　　U0q=

1

2

m′v12-0
第2次加速過程中，有   

5

6

U0q=

1

2

m′v22-

1

2

m′v12
…
第6次加速過程中，有   

1

6

U0q=

1

2

m′v62-

1

2

m′v52
以上6式左右累加解得　　v6=

84qU0 13m

由qBv6=m′

v62

r6

得　　r6=

T0

π

91qU0 48m

答：（l）金屬板的最大長度L=

2T0

π

qU0 m

．
（2）粒子第n 次通過S₂的速度vn=

nU0q m

．
（3）該粒子在磁場中運動的最大半徑r6=

T0

π

91qU0 48m

．

點評：該題類似于回旋加速器，第三問中分析出粒子被連續(xù)加速6次后，圓周運動的半徑最大．是解題的關鍵．該題解題的過程復雜，公式較多，容易在解題的過程中出現錯誤．屬于難度大的題目．