Question

（2011?鄭州一模）如圖所示，兩平行金屬板A、B長度l=0.8m，間距d=0.6m．直流電源E能提供的最大電壓為9×10⁵V，位于極板左側(cè)中央的粒子源可以沿水平方向向右連續(xù)發(fā)射比荷為q/m=l×10⁷C/kg、重力不計(jì)的帶電粒子，射人板間的粒子速度均為v₀=4×10⁶m/s．在極板右側(cè)有一個(gè)垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度B=lT，分布在環(huán)帶區(qū)域中，該環(huán)帶的內(nèi)外圓的圓心與兩板間的中心重合于O點(diǎn)，環(huán)帶的內(nèi)圓半徑R_l=

2

m．將變阻器滑動(dòng)頭由a向b慢慢滑動(dòng)，改變兩板間的電壓時(shí)，帶電粒子均能從不同位置穿出極板射向右側(cè)磁場(chǎng)，且兩板間電壓最大時(shí)，對(duì)應(yīng)的粒子恰能從極板右側(cè)邊緣穿出． 
（1）問從板間右側(cè)射出的粒子速度的最大值v_m是多少？
（2）若粒子射出電場(chǎng)時(shí)，速度的反向延長線與v₀所在直線交  于O′點(diǎn)，試用偏轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)相關(guān)量證明O′點(diǎn)與極板右端邊緣的水平距離x=

1

2

，即O′與0重合，所有粒子都好像從兩板的中心射 出一樣． 
（3）為使粒子不從磁場(chǎng)右側(cè)穿出，求環(huán)帶磁場(chǎng)的最小寬度d．

Answer 1

分析：（1）由動(dòng)能定理研究粒子從進(jìn)極板到處極板的過程求解．
（2）根據(jù)類平拋運(yùn)動(dòng)的規(guī)律研究粒子在水平方向和豎直方向的運(yùn)動(dòng)，列出運(yùn)動(dòng)學(xué)等式結(jié)合幾何關(guān)系證明．
（3）粒子進(jìn)入磁場(chǎng)后做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，畫出粒子剛好不出磁場(chǎng)的臨界軌跡圖，根據(jù)洛倫茲力提供向心力結(jié)合幾何關(guān)系求解．

解答：解：（1）由動(dòng)能定理研究粒子從進(jìn)極板到處極板的過程：

qU

2

=

1

2

mv_m²-

1

2

mv₀²
解出v_m=5×10⁶m/s   
（2）證明：如圖，設(shè)粒子在電場(chǎng)中的側(cè)移為y，則

x

y

=

v0

vy

 
根據(jù)類平拋運(yùn)動(dòng)的規(guī)律研究粒子在水平方向和豎直方向的運(yùn)動(dòng)，
列出運(yùn)動(dòng)學(xué)等式：
l=v₀t     y=

vy

2

 t   
  聯(lián)立解得x=

l

2

（3）設(shè)環(huán)帶外圓半徑為R₂，
所求d=R₂-R₁    
 粒子進(jìn)入磁場(chǎng)后做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，粒子剛好不出磁場(chǎng)的臨界軌跡如圖，
根據(jù)幾何關(guān)系得：
  R₁²+r_m²=（R₂-r_m）²   
根據(jù)洛倫茲力提供向心力得：
qv_mB=m

v 2 m

rm

  
 聯(lián)立解得：d=（2-

2

）m=0.586m  
答：（1）從板間右側(cè)射出的粒子速度的最大值是5×10⁶m/s  
（2）證明如上．
（3）環(huán)帶磁場(chǎng)的最小寬度是0.586m．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了帶電粒子分別在電場(chǎng)和磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)情況，當(dāng)兩極間加上電壓時(shí)，粒子做類平拋運(yùn)動(dòng)，根據(jù)類平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律求解問題．粒子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)，要掌握住半徑公式，畫出粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡后，幾何關(guān)系就比較明顯了．